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错位相减法教学现状及策略分析
（432700）湖北省广水市一中 王道金
1.问题提出
错位相减法是对一类数列求和的特殊方法，这种方法可以高度体现学生的综合运算能力。错位相减法在高中教学教材中最早应用于等比数列求和公式的推导，一般情况下，学生对公式的推导过程并不重视，他们往往只关注公式的结果，可以说，一般学生初次接触错位相减法时并没有对其引起足够的重视.学生真正重视错位相减法源于对数列求和，他们对几个类似的数列求和训练后，基本可以识别错位相减法适用的对象，也基本了解错位相减法求和的几个操作步骤，但是学生的运算能力到一定程度后就再难以提升，对错位相减法应用的教学检测情况经常不如人意.在常规教学中，关于错位相减法的教学和训练过程不同程度地存在一些问题，下面我们逐一分析和探讨.
2. 错位相减法教学现状及原因分析
2.1教师的教学与学生的实际能力错位
错位相减法是高中数学学习必须掌握的重要方法.教师本人通过高中、大学学习和教学实践，自然对此法的应用自是得心应手，部分教师的能力高，从而忽视对错位相减法教学环节的深入研究，误以为此法易懂、易识别、易操作、易掌握，随意讲解操作方法，没有特别和学生一起分析此法应用的几个易错环节，简单地把训练任务交给学生.就算每次教学检测结果让教师大失所望，也有部分教师就题论题草草评讲，这些教师还认为导致运算错误主要是学生运算不够细心，比较少分析学生错误的具体环节，也没有引导学生纠正不良的运算习惯，如此循环往复，在有些老师认为错位相减法不难掌握的情况下，有不少同学到高中毕业也没有很好地掌握错位相减法.
2.2学生对错位相减法的训练认识不够
由于部分教师在教学中对错位相减法应用应该注意的几个关键环节没有分析透彻，学生训练后能力虽然有一定的提升，不复杂的数列求和他们可以做对，但是遇到稍微复杂的数列，虽知道使用错位相减法，但是运算往往出错.正因为运算时对时错，学生会认为方法应该已经掌握，出错纯属偶然，这种想法会影响他们对过程的认真研究和分析，更没有采取变式训练的方式进行突破，久而久之，这部分学生容易形成“运算错误”定势.另外，错位相减法运算的结果往往比较复杂，学生比较难以看出有没有运算错误，加上一般学生没有验算的意识，所以经常出现求错结果而不自知的情况.
3.错位相减法教学方法探索
基于以上错位相减法教学现状的分析，我们应该对错位相减法的教学深入分析，寻找合适的教学切入点，紧紧抓住学生，全面剖析方法的易错环节，培养学生良好的运算习惯，找到提高学生运算能力的有效训练方案，根据情况拓宽学生视野，提升学生的思维水平.
3.1全面分析易错环节
问题：设数列中，，其中，求此数列的前项和.
方案一：
第一步（各项乘以）：
第二步（对应的各等次幂项相减）：

第三步（等比部分求和）：
第四步（处理的系数）：
第五步（整理化简）：
易错点1：第二步两式相减时容易把最后一项写成正；
易错点2：第三步等比部分求和时容易数错项数，一般项数应该是；偶尔遇到可以把第一项并入求和，那么就有项；
易错点3：经过一定的运算，容易误认为第三步求和以后就立即得到，忘记第四步处理的系数；
易错点4：最后整理结果时出现运算错误.
方案二：
第一步（各项乘以）：
第二步（对应的各等次幂相减）：

第三步（等比部分求和）
第四步（处理的系数）
第五步（整理化简）
以上两种方案处理手法类似，易错点也基本相似，可以在具体问题中视的取值情况确定使用哪种方案.
3.2课堂教学注意典型示范
虽然必须与学生一起分析错位相减法操作的各个易错环节，但是教师还是要先做典型示范，引导学生认识、发现数学规律，教师要对学生提出养成好的运算习惯的要求，引导学生对解题过程进行思维评价，让学生进一步关注关键步骤对于运算的意义，加深理解运算分步的必要性.也有必要安排学生板演，师生共同从正反两个方面分析如何提高运算的准确性.
3.3注意加强学生关于数式变形能力的训练
学生利用错位相减法求数列和出现错误，很大程度上与他们的数式变形能力有关，要想从根本上解决问题，必须首先全面提高学生的代数运算能力，特别是字符运算能力，让学生能够准确地进行符号变换、互逆变换、分式变换、整式变换、分解变换等各种代数变换.让学生自我纠错，提高自我评价能力，尽量让学生可以利用多种运算方法，运算能力达到灵活变换的程度.使学生重视运算通法、通则，要让学生养成好的运算习惯和运算品质.
3.4加强变式训练
针对错位相减法的应用进行一定的训练是必要的，但是教师在设计训练题时一定要注意训练的目的性、典型性、系统性，所设计的问题要有代表性，特别是要注意变化，要尽可能涵盖平时的常见类型.
训练题设计策略一：变换数列中的取值
问题1.数列中，，求其前项的和.
问题2.数列中，，求其前项的和.
问题3.数列中，，求其前项的和.
问题4.数列中，，求其前项的和.
问题5.数列中，，求其前项的和.
问题6.数列中，，其中为实常数，求其前项的和.
问题7.数列中，，其中为实常数，求其前项的和.
训练题设计策略二：变换结构
问题8.已知数列中，，，求此数列的前项的和.
略解：由条件得，所以，
，，以上两式相减得到，移项得.
问题9.已知数列、，其中，，为正整数，试求和.
训练题设计策略三：设计探究问题
问题10．数列中，，是否存在常数，使得对任意正整数，都有恒成立？
训练题设计策略四：挑战高难度
问题11. 数列中，，试求其前项的和.
略解：，
以上两式相减得

即，当时，，当时，
设，则
利用错位相减法得，所以，解得
.
可见形如的数列可以两次用错位相减法求其前项的和.
3.5改变求和方式

数列的求和问题，其中常数的取值不同，计算的繁难程度就不同，即便他们都是具体数字，有时候运算也比较麻烦，对于比较难算的求和，不妨考虑用裂项求和的方式代替，裂项求和的方法步骤少，运算准确性可以得到保证.以下举例说明.
问题12. 数列中，，试求其前项的和.
方法一：设，即，取，设，则

方法二：，所以
，

问题11：数列中，，求其前项的和.也可以使用裂项求和的方法：设

令，得到，设
则.
形如的数列求和，可以设
用待定系数法求，然后用裂项方法求其前项的和.
当时，还可以用差分的方法对数列裂项，记，则
，变形得，所以

，这样就可以把数列求和化成部分用裂项相消，部分用等比数列求和的问题了，非常简洁.
形如的数列求和，可以设
，用待定系数法求，.
3.6培养学生验算的习惯
在进行题目求解过程中或结束时还须对因素的过程和结果进行检验，以便及时纠正运算过程或结果中出现的错误，验算也需要掌握方法.养成检验、检查的习惯，提高运算过程的思维监控能力，这是形成和发展运算能力的重要环节.利用错位相减法对数列求和，提倡让学生养成对结果中的进行检验，那样就可以大大提高运算结果的准确度.
结语：运算能力是数学能力的重要组成部分，所谓运算就是指在运算律指导下对具体的数、式进行变形的演绎过程.错误相减法求和虽然只是众多运算问题中的一个，但是其代表性极强.如果学生可以过错位相减法运用关，那么他的运算能力必然可以得到极大地提高，所以在常规教学中，要尊重学生认知规律，充分调动学生，通过错位相减法提高运算能力，努力提高整体数学能力.

作者简介：王道金，男，1971年出生，理学学士，高级教师，广水市十大名师，随州市中小学学科带头人，湖北省中学数学学科优秀教师.
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