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倍数和因数”的教学建议

苏教版课程标准数学实验教材四年级（下册）“倍数和因数”单元，教学非零自然数的一些特点以及相互关系，进一步充实有关自然数的知识，并为教学分数知识作些准备。与过去的相关教学内容相比，本单元把“约数与倍数”改成“倍数和因数”，尽量使中小学的数学概念相衔接；兼顾学生的认知特点和数学知识的逻辑关系，重新组织知识体系，精简了整除、质因数、分解质因数等内容，保留了学生必需掌握的基础知识和基本方法,促进学生主动建构新知。本单元的知识结构和编排线索如下：
一、 在操作活动中得出乘法算式，举一反三体会倍数和因数的意义
倍数和因数的概念是本单元的重要知识，其他内容的教学都以此为基础。教材的例题先安排了小组活动，让学生用12个同样大的正方形拼成一个长方形，并用乘法算式把不同的拼法表示出来，之后教学倍数和因数的意义。教材安排用正方形拼成长方形的活动引入倍数和因数有三点原因：第一，倍数和因数是抽象的数学概念，动手操作能激发学生的学习热情，有利于改善学生的学习方式。第二，倍数和因数是相互依存的概念，共同反映非零自然数之间的关系。长方形里每行正方形的个数、摆的行数以及正方形的总个数三者之间蕴含了这些关系，有助于学生体会概念的含义。第三，用同样大的正方形拼成长方形这一活动，学生曾经在三年级（下册）的学习中进行过，因而会有不同的拼法和思考，从而得出不同的乘法算式，为教学倍数和因数的意义提供丰富的现实素材。
例题充分利用写出的三道乘法算式教学倍数和因数的意义，为学生设计了“接受、领会―模仿、理解”的学习过程：先结合算式4 × 3 = 12 介绍“12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数”，让学生读读、想想这几句话的意思，初步感受倍数和因数的意义是与乘法有联系的，表达的是自然数之间的关系；接着要求学生根据6 × 2 = 12、12 × 1 = 12说说哪一个数是哪一个数的倍数（或因数），在迁移中进一步认识倍数和因数的意义。其中12是12的因数、1是12的因数，12是12的倍数等特例，为后面的教学扫除难点。
研究倍数和因数，如果不排除0这个数，就会带来一些既麻烦又没有多大价值的问题，如“0是不是其他自然数的倍数”，“0是不是0的因数”等，最主要的是会涉及到今后学习最小公倍数的概念。所以，教材在第70页的底注中作了说明：“所说的数一般指不是0的自然数。”这一规定不必对学生作解释，只要教学时不涉及0就可以了。
“想想做做”第2、3题联系实际问题，让学生进一步体会倍数和因数的意义，体会倍数、因数关系存在于具体的数量关系中。在填表之后要组织学生讨论“茄子”和“白菜”卡通提出的问题，分别从“乘坐人数 × 4 = 应付元数”和“每排人数 × 排数 = 24”的角度进行解释。
二、 应用倍数和因数的概念，探索找一个数的倍数或因数的方法
找一个数的倍数或因数，既能巩固倍数和因数的概念，也为研究2、5、3的倍数的特征以及建构素数和合数的意义作准备。探索找一个数的倍数或因数的方法，教学重点是建立相应的数学模型，经历“实际问题―数学模型―解释应用”的过程。
第71页的两道例题分别教学找3的倍数、36的因数，利用“你能找出多少个3的倍数”和“你能找出36的所有因数吗”这些有挑战性的问题，鼓励学生独立思考、自主探索。教学找3的倍数，要引导学生根据3的倍数的意义建立“3 × （ ） = （ ）”这一数学模型，依次得到3 × 1 = 3、3 × 2 = 6……并在从小到大有序地写出3的倍数过程中，体会3的倍数有无数多个。教学找36的因数，可引导学生先想什么样的数是36的因数，从“（） × （ ） = 36”推出“36 ÷ （ ） = （ ）”的模型。为了不重复、不遗漏地找到36的全部因数，除数可依次选1、2、3……进行尝试。先通过已经写出的36 ÷ 1 = 36和36 ÷ 2 = 18，体会在没有余数的除法算式中，每次计算能找到36的两个因数；再通过36 ÷ 3 =（ ）和36 ÷ （ ） =（ ），试着自己找36的因数，体会在有余数的除法算式中，除数和商都不是被除数的因数；最后在36 ÷ 6 = 6这道算式中，看到它的除数和商相同，体会根据这道算式只能找到36的一个因数，而且找到这个算式就找出36的所有因数了。
教材在两道例题之后各安排一次试一试”，既能帮助学生及时巩固在例题里学习找一个数的倍数和因数的方法，又能为学生提供更多发现一个数的倍数和因数的规律的素材。这样安排，使得一个数的倍数和因数的规律不再是机械记忆的知识，而是学生在充分经历找倍数和因数的过程中形成的体验。这些体验，丰富了学生对倍数和因数概念的认识。
《数学课程标准（实验稿）》明确要求：在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数；在1~100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。教材在编排练习题时，严格遵守这些规定。第73页第5题写7的倍数，只要从小到大写出若干个，并用省略号表示个数无限。而6的倍数，只要写出40以内的。第8题让学生体会倍数、因数是相对的，如16是8的倍数，16又是48的因数。在说倍数与因数的时候，要表达完整，不能说成“16是倍数”或“16是因数”。
三、 选择适宜的方式教学2、5、3的倍数的特征
教学2、5、3的倍数的特征，能进一步理解倍数的意义，掌握找一个数的倍数的方法，还能发展抽象思维，培养探索规律的能力。2和5的倍数的特征都表现在数的个位上，比较明显，容易发现。教材编排了一道例题，引导学生通过操作、观察、比较、分析，主动发现和归纳特征。例题呈现了百数表，让学生在百数表里5的倍数上画“△”，2的倍数上画“○”。先观察5的倍数，个位上的数是5或0，再把视线转移到2的倍数上，发现这些数个位上的数是2、4、6、8或0最后，学生还能发现，百数表里有一列数上画了“△”，也画了“○”，这些数既是5的倍数，也是2的倍数。在教学2的倍数特征的基础上，教材介绍了偶数和奇数的概念。
3的倍数的特征比较隐蔽，学生一般想不到从“各位上数的和”去研究，教材注意引导学生经历探索的过程。首先，在百数表里圈出3的倍数，这些数的个位上有的是1，有的是2，还有3、4……8、9、0。让学生初步发现3的倍数的特征与2和5的倍数不同，不表现在数的个位上。在此基础上，利用计数器转移探索的方向。让学生从百数表里找出几个大小不同的3的倍数，并在计数器上表示出来，看看各用了几颗珠，发现在计数器上表示3的倍数，所用的数珠是3颗、6颗、9颗、12颗……数珠的颗数都是3的倍数。在各个计数器下面的加法算式2 + 7 = 9、4 + 2 = 6、7 + 5 = 12，算的是拨出每个数所用数珠的颗数，也是每个数各位上数的和。把数珠颗数抽象成各位上数的和，是理解3的倍数特征的关键。“试一试”是教学的第三步，如果一个数不是3的倍数，那么这个数各位上数的和不是3的倍数。利用反例进一步证实3的倍数的特征，体现了数学的严谨性和数学结论的确定性。
为了更好地引导学生掌握2、5、3的倍数的特征，教材在两次“想想做做”中都设计了有层次的练习。第一层次是前两题，让学生根据特征直接作出判断；第二层次是应用特征开展简单的推理活动，发展思维。如，在0、5、6、7四张数字卡片中选出两张组成偶数，学生只要根据2的倍数的特征，思考四张数字卡片中能放在个位上的只有0或6，如果把0放在个位上，可以组成50、60、70三个偶数；如果把6放在个位上，可以组成56、76两个偶数。又如，在0、5、6、7四张数字卡片中选出三张组成3的倍数的三位数，解决这个问题既应用了3的倍数的特征，又利用了第六单元“找规律”里获得的知识和经验。
四、 引导建构对素数和合数的认识
素数和合数的知识是在找一个数的因数的基础上安排的。大于1的自然数，不是素数就是合数。第78页的例题先让学生分别写出2、3、5、6、8、9这六个数的所有因数，不但复习了旧知识，还体会了各个数的因数个数有时并不相同从而产生研究自然数的因数个数的需求。在此基础上，让学生把六个数按因数的个数分类，进一步了解有些自然数只有两个因数，有些自然数的因数超过两个。在把六个数分类的时候，可让学生适当尝试，然后引导学生明确教材分类的标准，体会这一标准的合理性。教学的重点是让学生讨论只有两个因数的数，它们的因数有什么特点。突出两个因数中一个因数是1，另一个因数是它本身，这样的数叫素数；如果一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。最后，还要让学生体会为什么1既不是素数，也不是合数，进一步明确素数和合数概念的内涵。
“试一试”和“想想做做”第1题，都要先写出一些自然数的所有因数，再指出它们是素数还是合数，帮助学生重温素数和合数概念形成的过程，学会判断一个自然数是素数还是合数的基本方法。第2题用“筛法”在2~50的自然数中逐渐去掉合数，剩下素数。在划掉2、3、5、7的倍数的时候，要提醒学生把2、3、5、7这四个数留下来不能划去，并体会划去的都是什么数，留下的又是什么数，还要看一看50以内有哪些素数，尽量记忆20以内的素数。第3题在给定的自然数中辨认素数和合数，可以根据素数和合数的概念分析每个数各有几个因数，作出相应的判断。其实，对于某个自然数，只要在1和它本身外，再找到一个因数，就能确定这个自然数是合数。也可以对照第2题数表里划掉的数和留下的数回答问题。
本单元教学的概念比较多，有些概念往往会相互混淆，如质数与奇数，合数与偶数。第81页第6题在1~20的数表中画“○”圈出所有素数，画“△”圈出所有偶数，复习了素数和偶数的意义。在2的上面既画了“○”，也画了“△”，表明2是素数，也是偶数。这就充分说明素数不都是奇数，偶数不都是合数。这样的辨析并不是让学生进行纯粹的理性思考，而是结合实例进行比较。在第8题里能体会奇数不都是素数。第7题在探索规律的过程中，应用并巩固自然数、奇数、偶数、3的倍数等知识，开展在若干个实例上进行不完全归纳的思维活动。要指导学生先选择三个较小的数算算想想，再选择三个较大的数试试，通过几次实验才得出结论，培养严谨的认知态度。