大学物理九振动学基础.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,9-0,教学基本要求,9-1,简谐振动的规律,9-2,简谐振动的描述,9-3,简谐振动的合成,第九章 振动学基础,第,1,页,/,共,46,页,教学基本要求,一、理解简谐振动的基本特征,了解研究谐振子模型的意义,.,*,二、能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义,.,三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素,.,四、理解旋转矢量法和相位差的意义,会用旋转矢量法分析和解决简谐振动问题,会做振动曲线,.,五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律,.,*,六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成,.,第,2,页,/,共,46,页,9-1,简谐振动的规律,预习要点,注意简谐振动的规律和特点,.,如何判断一个振动是否为简谐振动？,简谐振动的能量有什么特点,?,简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？,研究谐振子模型的意义何在？,第,3,页,/,共,46,页,一、,简谐振动的定义,1.,弹簧振子,一个劲度系数为,k,的,轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个,弹簧振子,.,2.,弹簧振子振动的微分方程,弹簧振子偏离平衡位置,O,后，仅因回复力,(,弹性力,),和惯性而自由往返运动,.,第,4,页,/,共,46,页,有,弹簧振子的振动微分方程,(,动力学方程,),解微分方程得,令,(1),位移时间关系,(,振动方程,),第,5,页,/,共,46,页,(2),速度时间关系,(4),能量特征,(3),加速度时间关系,第,6,页,/,共,46,页,弹簧振子的总的,机械能,由,弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发生,周期性变化,，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的,机械能守恒,.,第,7,页,/,共,46,页,其中,t,o,T,2,T,v,a,t,o,T,2,T,称为,速度幅值,和,加速度幅值,.,总是和,方向相反,A,第,8,页,/,共,46,页,4,T,2,T,4,3,T,E,(5)振动曲线,第,9,页,/,共,46,页,振动曲线,从图可见，,动能,和,势能,的变化频率是,位移,变化频率的2倍，总能量并不改变。,曲线,t,T,E,p,E,k,t,o,T,第,10,页,/,共,46,页,3.,简谐振动的定义,4,.,简谐振动的判据,(1),运动的微分方程,(,定义式,).,(2),机械振动也可用其受力特征或运动特征判断,.,任,一,物理量,x,随时间,t,的变化关系如果满足微分方程,其中 是系统固有性质决定的常数,则此物理量作,简谐运动,.,第,11,页,/,共,46,页,二、,简谐振动的固有周期,周期,频率,振动往复一次所需时间,.,角频率,都表示简谐运动的周期性，反映振动的,快慢,.,弹簧振子固有周期,由,第,12,页,/,共,46,页,物体不再作简谐振动。,当,角不是很小时，,T,G,Gcos,Gsin,单摆,第,13,页,/,共,46,页,例,:,质量为,m,长度为,l,的均匀细棒，绕,O,点作小角度摆动,.,求振动周期,.,重力矩,“,”,表示力矩与逆时针,张角,方向相反,.,解,:,当,时,O,第,14,页,/,共,46,页,令,得到,振动微分方程,由,表明棒作角简谐振动,第,15,页,/,共,46,页,三、,谐振子模型,符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它是振动学的研究基础,.,弹簧振子、无阻尼,LC,振荡电路等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观谐振子可揭示其能量量子化,.,第,16,页,/,共,46,页,9-2,简谐振动的描述,预习要点,简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定,?,如何确定它们的数值？,注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用,.,注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法,.,第,17,页,/,共,46,页,一、振幅和初相位,1.,振幅,质点在振动过程中离开平衡位置的,最大位移,的绝对值,.,表征了系统的能量，由初始条件决定,.,由,时,有,得,第,18,页,/,共,46,页,2.,相位,在 中，称为振动的相位,.,（,1,）,，存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻的,t,的,位置和速度,(,即时刻,t,的运动状态,).,（,2,）,初相位 描述质点,初始,时刻的运动状态,(,初位置 和初速度,.,已知初始条件,也可确定初相,.,上式可求得 在 区间内两个解，应进一步由 的符号判定 和 的符号后选定其中的一个解,.,第,19,页,/,共,46,页,二、相位差,表示两个相位之差,.,对于两个,同,频率的简谐运动，相位差表示它们间,步调,上的,差异,.,两个,同,频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关,.,1.,相位差,2.,超前和落后,若 ，,则,x,2,比,x,1,较早达,到正最大，称,x,2,比,x,1,超前,(,或,x,1,比,x,2,落后,).,第,20,页,/,共,46,页,3.,同相和反相,当,=,2,k,，,(,k,=0,1,2,),，,两振动步调相同，称,同相,.,当,=,(2,k+,1),，,(,k=,0,1,2,),，两振动步调相反，称,反相,.,O,A,1,-,A,1,A,2,-,A,2,x,1,x,2,T,t,同相,两同相振动的振动曲线,x,2,T,x,O,A,1,-,A,1,A,2,-,A,2,x,1,t,反相,两反相振动的振动曲线,第,21,页,/,共,46,页,振动系统本身性质,初始条件,一质点作简谐振动，振动方程为,x=Acos(,t+,),，,当时间,t=T/2,（,T,为周期）时，质点的速度为,(,A)-A,sin,(B)A,sin,(C)-A,cos,(D)A,cos,第,22,页,/,共,46,页,第,23,页,/,共,46,页,三、简谐振动的旋转矢量表示法,M,P,可见，旋转矢量的长度,A,、,角速度 和,t=0,时与,x,轴的夹角 分别代表投影点,简谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位,.,如图，一长度为,A,的矢量 绕其始端,O,以恒角速度,沿逆时针方向转动，其矢端,M,在,Ox,轴上的投影点,P,将以,O,为平衡位置做,简谐振动,.,任一时刻旋转矢量与,x,轴的夹角 为投影点简谐振动的相位,.,规定 沿逆时针方向转动，则相位,便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻,t,的运动状态,.,第,24,页,/,共,46,页,所以，作匀速转动的矢量，,其矢端在过其始端的直线,(,x,轴,),上的投影的运动就是,简谐振动,.,A,简谐振动,旋转矢量,t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径长,初始角坐标,角坐标,角速度,旋转周期,物理模型与数学模型比较,第,25,页,/,共,46,页,如图为旋转矢量法,A,M,t,P,M,0,O,x,自Ox轴的原点,O,作一矢量，使其模等于振幅,A,，,使,A,绕点,O,作逆时针的匀角速转动,。,看矢量A的矢端M,矢量A在Ox轴上投影,恰是沿,Ox,轴作简谐运动的物体在,t时刻相对于原点,O,的位移。,因此，旋转矢量,A,的矢端,M,在,Ox,轴上的投影点,P,的运动，可表示物体在,Ox,轴上的简谐运动。矢量,A,以角速度,旋转一周，相当于物体在,x,轴上作一次完全振动。,第,26,页,/,共,46,页,t,x,o,x,A,t+,旋转矢量法,与,振动曲线法,相对照,旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利用矢量端点在,Ox,轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动的规律。,注意：,x,轴正方向竖直向上。,利用旋转矢量法，可以很容易地表示两个简谐振动的位相差，即两个旋转矢量之间的夹角。,矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振动状态,。,第,27,页,/,共,46,页,例：,一物体沿,X,作谐振动振幅,A=20cm,周期,T=4s,t=0,时物体的位移为-10,cm,且向,X,轴负向运动。,求：（1）,t=1s,时物体的位移；,（2）何时物体第一次运动到,x=10cm,处；,（3）再经多少时间物体第二次运动到,x=10cm,处；,0,X,O,解：,如图，,第,28,页,/,共,46,页,0,X,O,（1）,t=1s,时物体的位移；,（2）何时物体第一次运动到,x=10cm,处；,（3）再经多少时间物体第二次运动到,x=10cm,处；,第,29,页,/,共,46,页,X,O,试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。,解：设两质点的谐振动方程分别为,10,A,1,20,A,2,两质点沿,X,轴作同方向,同振幅,A,振动.其周期为5,s,当,t=0,时,质点1 在 处向,X,轴负方向运动,而质点2在-,A,处，,例：,第,30,页,/,共,46,页,质点1第一次经过平衡位置的时刻,质点2第一次经过平衡位置的时刻,X,O,10,A,1,20,A,2,第,31,页,/,共,46,页,例,:,已知,简谐振动曲线,x t,试写出此,振动的运动方程,解,：,由图可以看出,由题意,(,解析法,),o,t,x,-0.05,0.1,第,32,页,/,共,46,页,此题也可用,旋转矢量法,求解。,解,：,由图可以看出,o,t,x0.05,0.1,0,x,O,第,33,页,/,共,46,页,9-3,简谐振动的合成,预习要点,注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律,.,分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？,了解两个互相垂直的简谐振动的合成,.,第,34,页,/,共,46,页,一、,两个同方向同频率的简谐振动的合成,两个,同,方向,同,频率简谐运动,合成,后仍为简谐运动,，角速度不变,.,第,35,页,/,共,46,页,1,.,当,时,合振动振幅,最大,.,2,.,当,时,合振动振幅,最小,.,3.一般情况,第,36,页,/,共,46,页,一般情况,为其它任意值，则：,上述结果说明,两个振动的相位差,对合振动起着重要作用。,合成振动,t,T,2,T,o,第,37,页,/,共,46,页,例,已知两个同方向振动分别为：,(1),求合振动的振幅和初相位；,(2),另有一同方向的振动 ，,问 为何值时 的振幅为最大？为何值时，,的振幅最小？,第,38,页,/,共,46,页,解,(1),第,39,页,/,共,46,页,当 时，与 合成振幅最小。,(2)当 时，与 合成振幅最大。,第,40,页,/,共,46,页,例,两条谐振动的曲线如图所示，,求合振动方程。,解,由谐振动曲线可写出两个分振动方程：,由图知，,t(s),x(cm),-,I,-,0.5,第,41,页,/,共,46,页,今用,旋转矢量法,来求合振动：,合振幅,合振动的初相位由图可见,：,故,第,42,页,/,共,46,页,第,43,页,/,共,46,页,*,二、,两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成,两式消去,t,，,合振动,分振动,为,椭圆,轨迹方程，顺时针运行,.,第,44,页,/,共,46,页,为直线方程,.,讨论,1,.,同相位,2,.,为标准椭圆方程，逆时针运行,.,第,45,页,/,共,46,页,3,.,反相位,4,.,为标准椭圆方程，逆时针运行,.,为直线方程,.,第,46,页,/,共,46,页,