立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究.pdf

文章编号：1006-3080(2023)04-0606-09DOI:10.14135/ki.1006-3080.20220314002立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究杨泊莘，许浩杰，安琦（华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237）摘要：钢坯边缘开裂是轧制工艺中的一个重要难题。建立了一种在立轧阶段对钢坯边缘裂纹扩展与闭合进行判断的能量分析模型，根据所提出的-三次曲线函数狗骨模型，推导了对应的塑性流动速度场、应变速率场以及包含裂纹尺寸参数的总功率泛函表达式。基于功率最小化原理，数值求解了狗骨变形参数和轧制力，实现了对临界开裂点的计算。结合具体算例对所建立的计算方法进行了验证，并进一步研究了裂纹尺寸对立轧工艺参数和钢坯力学性能的影响。结果表明，开裂与钢坯边缘的变形程度有关，在压下量大小一定的前提下，增大立辊半径可以起到抑制边缘开裂、提高裂纹闭合率的作用。关键词：立轧；边缘裂纹；能量模型；临界开裂参数；力学分析中图分类号：TG331文献标志码：A现代热连轧粗轧机组中，立辊用以控制钢坯板宽，抑制钢坯平面的非矩形化。与平轧过程中整体均匀的变形不同，立轧时钢坯仅在边缘局部发生非均匀的塑性变形（狗骨变形），其变形和轧制力规律十分复杂。若立轧参数选择不当，则会导致钢坯开裂，影响轧制质量。因此，找出判断钢坯是否开裂的计算方法，并对影响开裂的因素进行研究十分必要。Okado 等1采用纯铅模拟立轧，首次提出用狗骨骨峰高度及其与立辊接触处边缘高度、骨峰位置和狗骨影响区长度共 4 个参数来描述边缘变形的断面特征，并给出了 4 个参数的经验公式。Shibahara 等2通过对立轧实测值进行回归分析，建立了立辊装置的数学模型。Tazoe 等3通过物理模拟得到了狗骨骨峰高度随轧制参数变化的经验公式，之后 Ginzburg等4对该公式进行修正，Huismann5得到了塑料泥模拟实验的验证。熊尚武等6-7用纯铅作为实验材料，将工业生产线的钢坯尺寸缩小 10 倍，在实验室小型轧机进行立轧试验，得到了狗骨 4 参数的经验公式。但是经验公式的理论深度不足，且结果受到试验条件的影响较大。Lundberg 等8-10假设立轧过程为平面变形，分别建立了考虑摩擦和光滑情况下塑性变形区的三角形速度场，得到了金属流动的速端图，并计算了轧制力矩。张宇峰等11-12基于平面变形假设，绘制了辊件全黏着接触时塑性区的滑移线场与速端图，推导了力学性能参数和狗骨形状的解析解，运用工程法建立了塑性单元体的静力平衡微分方程，得到了轧制力的解析解。Yun 等13采用指数函数和四次函数组合曲线描述狗骨变形，基于流函数和体积不变条件设定了速度场，并根据有限元模拟的结果建立了半理论模型。Li 等14将狗骨变形简化为抛物线，推导了二维流动的许用速度场、应变速率场以及对应的总功率泛函，基于能量最小原理，得到了轧制力和扭矩，分析了狗骨形状参数和轧制力的变化规律。Liu 等15-19分别采用二维流函数法和双流函数法，建立了正弦和抛物线狗骨模型，基于刚塑性理论和体积不变条件，推导了总功率泛函，得到的形状参数和轧制力结果与实测值基本吻合。Yu 等20-23对立-平轧制过程进行了研究，模拟了板坯角部横裂纹的变化，得到了轧制过程中裂纹尖端应力和裂纹扩展的规律，建立了考虑裂纹表面粗糙度的中厚板轧制有限元模型，分析了钢坯内裂纹的闭合行为和机理。收稿日期：2022-03-14作者简介：杨泊莘（1994），男，吉林省吉林市人，博士生，主要研究方向为金属压力加工。E-mail：通信联系人：安琦，E-mail：引用本文：杨泊莘,许浩杰,安琦.立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究 J.华东理工大学学报（自然科学版）,2023,49(4):606-614.Citation：YANGBoxin,XUHaojie,ANQi.MechanicalAnalysisofPlasticDeformationandResearchonEdgeCrackinVerticalRollingProcessJ.JournalofEastChinaUniversityofScienceandTechnology,2023,49(4):606-614.华东理工大学学报（自然科学版）Vol.49No.4606JournalofEastChinaUniversityofScienceandTechnology2023-08通过对文献的分析可以看出，大多数文献均假设钢坯无任何缺陷，针对立轧边缘裂纹的研究十分有限，研究方法也大多限于有限元模拟，研究深度不足，目前鲜见考虑钢坯开裂的立轧理论模型。为此，本文提出了符合立轧边缘变形的-三次曲线函数狗骨模型，应用流函数法推导了与之对应的速度场和应变速率场，基于能量法和上界分析求解了存在边缘缺陷的总功率泛函，建立了对开裂进行判断的计算方法，结合具体算例深入研究了开裂行为与工艺参数的关系及其对轧制力和边缘变形的影响规律。1立轧塑性变形模型 1.1 立轧工艺分析及基本假设如图 1（a）所示为粗轧阶段立-平轧机组的轧制过程。铸造钢坯以一定的初速度通过立辊间隙，钢坯宽度减小以达到平轧的工艺要求。齐边后的钢坯在平辊的作用下减薄，长度增加，完成延长轧制。立轧时，钢坯边部在立辊的挤压作用下发生变形，厚度方向产生明显的隆起，但变形的影响范围有限，中间部分几乎不产生任何形变，最终钢坯将形成狗骨型断面，如图 1（b）所示。在进行力学分析前首先给出如下假设：（1）立辊为刚体，无装配误差，且始终与轧制方向垂直，忽略轧制过程中的径向位移；（2）钢坯为刚-塑性材料，组织均匀，各向同性，除边缘裂纹位置外，上下表面、左右表面对称，受力和塑性变形规律完全相同；（3）咬入区钢坯始终处于稳态，不发生失宽，且无前后张力；（4）忽略温度等环境因素的影响。1.2 -三次曲线函数狗骨模型取变形区的 1/4 为研究对象，如图 2 所示，以钢坯入口截面中心位置为坐标原点建立三维坐标系，x、y、z 轴分别代表钢坯的轧制、厚度和宽度方向。w0w1w=w0w1l=R2(Rw)2sin=lRwx=w1+RR2(lx)2wx=w0wx=sin1(lxR)图 2（a）中，和分别代表轧制前和轧制后的钢坯半宽度，单侧压下量，立辊半径为R，立轧变形区接触弧在轧制方向上的投影长度，咬入角，咬入区任意位置半 宽 度，单 侧 宽 减 量,任意位置咬入角，可以得到dx=Rcosdwx=lxR2(lx)2=tanwx其中：为 wx的一阶导数。hhbxhrxlcxlpx图 2（b）示出了狗骨截面形成过程，位于中间的区为刚性的狗骨茎区，边缘隆起处的区为产生塑性变形的狗骨头区。咬入区任意位置的钢坯半厚度用 表示，狗骨 4 参数即骨峰高度、边缘半高度、骨峰位置以及狗骨影响区（塑性变形区）长度分别用、和表示。0 z wx2dxwx2dx z wxhhhr以骨峰为界，分别以-函数和三次曲线函数来描述中心 区（）和边缘 区（）的钢坯半厚度（分别表示为和），并将狗骨边缘半厚度增加量与摩擦因子 m 假设为反比例关系，则狗骨模型可以表示为：h=h0+kh0wxdxu2eu(1)h=h0+4kh0e2wxdxmkh0e2wxdx(u33u2+4)(2)u=wxzdxdx=dw1wx12式中：k 为待定常数；m 为摩擦因子；，其中 dx为任意截面骨峰到边缘距离的。-三次曲线函数狗骨模型满足以下边界条件：h(0,z)=h(0,z)=h0First horizontal rolling processFirst vertical rolling process(a)Structure of rolling process(b)Edge deformation in vertical rollingvSecond vertical rolling processSecond horizontal rolling process图1立-平轧工艺示意图Fig.1Schematicdiagramofvertical-horizontalrollingprocess第4期杨泊莘，等：立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究607h(x,z)z?z=wx2dx=h(x,z)z?z=wx2dx=0h(x,wx2dx)=h(x,wx2dx)=h0+4kh0e2wxdx=hbxh(x,wx)=h0+4(1m)kh0e2wxdx=hrx 1.3 速度场和应变速率场模型w(x,z)立轧轧制区的塑性流动情况如图 3 所示。ds 和dS 分别代表长度方向上无限小微元体前、后面的横向宽度，为横向位移函数。流函数15具有如下性质：wz=dsdSdS(3)根据不可压缩条件，轧制方向的速度为：vx=v0h0hdSds(4)其中：h 为咬入区任意位置钢坯半厚度。wz 1w/z1+w/zwz将式（4）代入式（3）中，同时考虑到当时，则有vx=v0h0h(1wz)(5)对于塑性区流函数，有如下关系：vzvx=wx(6)将式（5）代入式（6），可以得到：vz=v0h0h(1wz)wx(7)y根据体积不变原则和 Cauchy 方程，得到 y 方向的应变速率（）为：y=vyy=vxxvzz(8)y=0vy=0同时注意到时，通过积分得到：vy=v0h0y(wz1)x(1h)+z(1h)wx+1h(wz2wxz+wx2wz2)(9)vx根据 Yun 等13的有限元分析，立轧速度的变化量不超过 3%，即可以近似认为：vx=v0(10)代入式（9）可以得到横向位移：w=wz0(1hh0)dz(11)w(wx2dx)=w(wx2dx)分别将式（1）、（2）代入式（11），根据边界条件，有w=kwx(u2+2u+2)eu(12)w=kwxe24u18+m(414u4+u34u)(13)wwwx其中：和分别为 区和 区的横向位移，为单侧宽减量。上式满足边界条件：w(x,wx)=wx进一步计算可以得到 区和 区的速度场（式（14）、式（15）和应变速率场（式（16）、式（17）：vx=v0vy=v0yh0hx=kv0y(txu2tuxu2+2tuxu)euvz=v0wx=kv0wx(u2+2u+2)+wxuxu2eu(14)Strip(a)Horizontal section of bite zone (b)Formation of dog-bone shapeVertical rollerw0w0w1v0h0oRvRxywxwxzllxlcxlpxhrxhbxzhhRoo图2咬入区截面图Fig.2Sectionofrollingzoneov0w1xvxvzvxwxRw0dSdszw(x,z)图3轧制区的塑性流动Fig.3Plasticflowinrollingzone608华东理工大学学报（自然科学版）第49卷vx=v0vy=v0yh0hx=ke2v0y4txmtx(u33u2+4)3mtu(u2)uxvz=v0wx=ke2v0mwx(414u4+u34u184um)+mwx(u33u2+44m)ux(15)x=0 y=v0h0hx=kv0(txu2tuxu2+2tuxu)eu z=v0h0hx=kv0(txu2tuxu2+2tuxu)eu(16)x=0 y=v0h0hx=ke2v04txmtx(u33u2+4)3mtu(u2)ux z=v0h0hx=ke2v04txmtx(u33u2+4)3mtu(u2)ux(17)t=wxdxtx=wxdx+wxdxdx2ux=wxdx(wxz)dxdx2k=e2184mvy(0,0,z)=vy(0,0,z)=0vy(l,y,z)=vy(l,y,z)=0vz(l,y,z)=vz(l,y,z)=0vx(x,y,wx2dx)=vx(x,y,wx2dx)vy(x,y,wx2dx)=vy(x,y,wx 2dx)vz(x,y,wx2dx)=vz(x,y,wx2dx)x+y+z=0 x+y+z=0式中：，待定系数 k 由轧制区金属秒流量恒定确定：。速度场满足的边界条件为：入口处：；出口处：，；区和 区接触处：，。应变速率场满足的不可压缩条件为：，。1.4 GA 屈服准则D(ij)图 4 所示为 平面上几何逼近（GA）屈服准则24的轨迹。该线性准则取与 Mises 屈服轨迹覆盖面积和周长的均方差最小的十二边形轨迹作为屈服判据，得到的屈服轨迹为与 Mises 圆相交的等边非等角十二边形，可以在几何上最大程度逼近 Mises 圆。GA 屈服准则及对应的比塑性功率为：1622162172622+1332173=s,212(1+3)622162171+622+13321723=s,212(1+3)D(ij)=1 0001 683s(max min)(18)123123其中：、均为任意点的主应力，且满足。1.5 立轧总功率泛函模型J根据刚塑性第一变分原理，轧制过程总功率（）泛函由 3 部分组成：J=Wi+Ws+Wf(19)WiWsWf式中：、分别代表塑性变形功率、剪切功率和摩擦功率。根据 GA 屈服准则，塑性变形功率为：Wi=yVD(ij)dV=1 0001 683syV max mindV=1 0001 683swl0wwx2dx0wh0 max mindydzdx+wl0wwxwx2dxwh0 max mindydzdx(20)入口横截面存在速度不连续量，剪切功率为：Ws=wS0s|vs|ds=sww00wh00(vy|x=0)2+(vz|x=0)2dydz(21)s=s/3其中：剪切屈服强度。根据速度场边界条件，出口截面：wx|x=l=0,vy|x=l=vz|x=l=0速度场连续，故不消耗剪切功率。f接触区的摩擦切应力（）按常摩擦理论计算：f=ms(22)vf切向速度不连续量为：vf=vxi+vyj+vzk?vf?=vx2+vy2+vz2接触面上的面积微元为：dsf=1+(dzdx)2+(dzdy)2dxdy=1+(hx)2dxdy=secdxdyfvf注意到沿接触面的摩擦切应力与速度不连续量为共线矢量，摩擦功率由共线矢量内积25得到：Wf=wSf?f?vf?cos(f,vf)dsf=mswl0whrx0vy?z=wx2+(vx?z=wxvRcos)2+(vz?z=wxvRsin)2secdydx(23)将式（20）、式（21）和式（23）代入总功率泛函式（19）中可得：J=10001683swl0wwx2dx0wh0 max mindydzdx+10001683swl0wwxwx2dxwh0 max mindydzdx+sww00wh00(vy|x=0)2+(vz|x=0)2dydz+mswl0whrx0vy?z=wx2+(vx?z=wxvRcos)2+(vz?z=wxvRsin)2secdydx(24)第4期杨泊莘，等：立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究609h0wvRRsmdJmindF0可以看出，当、等参数确定后，总功率泛函中仅含有一个待定常数，采用MATLAB 对功率泛函进行数值计算，可以求解总功率取得最小值（）时对应的 值。单位厚度轧制力（）可由下式确定26：Jmin=MvR2R=h0lF0(25)M=0.4式中：为轧制力矩；为力臂系数，根据文献取25。1.6 考虑边缘裂纹的总功率泛函模型1232=3=101SSfV以“V”型裂纹为例对钢坯边缘开裂进行分析，裂纹尺寸如图 5 所示。裂纹位于钢坯角部，开口宽度为，侧表面和上表面的开口深度分别为和，裂纹尺寸满足，裂纹在剪切平面和摩擦平面的投影面积分别用和表示，裂纹总体积为。Edge surfaceTop surface123图5“V”型裂纹的形状Fig.5Shapeof“V”crack当钢坯边缘存在裂纹时，总功率泛函变为：J=Wi+Ws+Wf+W=10001683syVV max mindV+wS0Ss|vs|ds+wSfSf?f?vf?cos(f,vf)dsf+|vn|Sf(26)W=2k|vn|=v0Sf式中：为裂纹开裂功率，为偏应力矢量模，为面上的法向（即轧制方向）速度不连续量。d11+1Jmin(1)Jmin(1+1)给定裂纹的尺寸参数，仍按 1.5 节所述方法求解总功率泛函，可以确定该尺寸下的待定常数 及对应的力学参数。对于某组工艺参数，分别计算当裂纹宽度为和时的最小上限功率，当时，根据能量最小原理，裂纹将趋于闭合；反之，当时，裂纹宽度增加有利于降低系统消耗的总能量，则表明钢坯具有开裂的倾向；而当二者相等时，则表明裂纹处于临界状态，任何一点微小的参数改变都将导致裂纹的扩展或闭合，此时的工艺参数即为该条件下的临界开裂点。根据上述力学建模，制定了考虑边缘裂纹的立轧过程数值计算能量模型，流程如图 6 所示。2数值计算与讨论 2.1 塑性变形模型的验证w0w/w0为0.020 0.045h0/w0为0.08 0.24R/w0为0.475 1.000钢坯边缘不存在裂纹时，在为 0.5001.000m，的范围内进行了 109 组模拟实验，本文能量模型与文献 13 中 Yun 模型的量纲为一轧制力预测对比结果如图 7 所示。可以看出，二者吻合很好，误差基本在10%以内，可以证明本文所建立的模型具有可靠性。1=2.0 mmw0=0.600 mw=0.025 mh0=0.125 mR=0.490 mm=0.428当钢坯边缘存在的“V”型裂纹时，取参数，采用本文所建立的能量模型预测了摩擦因子对裂纹扩展与闭合的影响。如图 8 所示为数值计算结果与文献 22 中 Yu 的模型的对比。Yu 模型的结果显示，临界开裂摩擦因子位于 0.350.45 之间，而能量模型的数值计算结果则将临界参数确定为，进一步证明本文所建立的模型是可信的。2.2 钢坯边缘开裂行为的数值计算与分析图 9 所示为立轧塑性变形和轧制力随裂纹尺寸的变化情况。在 1、2 两组工艺参数下，裂纹均处于闭合状态。可以看出，裂纹尺寸对边缘变形和轧制力的影响都很小，与无裂纹时相比，最大减幅不足1%。可见通过轧制力的变化对裂纹状态进行监测是十分困难的，也从另一方面说明建立立轧开裂预测理论模型是十分重要和必要的。钢坯存在边缘裂纹时，边缘变形随立辊半径和侧压率的变化情况分别如图 10（a）和 10（c）所示。随着立辊半径的增加，立辊与钢坯的接触面积增大，轧向阻力变大，质点向宽度中心方向运动的趋势增加，导致骨峰内移。宽减率增大，直接扩大了变形区域，TrescaGATSS231Mises图4GA 屈服准则在 平面上的轨迹Fig.4GAyieldlocusonthe-plane610华东理工大学学报（自然科学版）第49卷狗骨变形整体向内部延伸。上述结果与无裂纹时的钢坯变形规律具有一致性，可见裂纹的引入并不会影响钢坯变形的基本规律。同时，临界开裂点将立辊半径参数分为扩展区和闭合区，当半径较大时，有利于边缘裂纹的闭合；当半径小于临界开裂点时，裂纹将趋于开裂。类似地，随着压下率增大至临界开裂点，裂纹也将由闭合转变为扩展。通过上述分析可以得出，钢坯边部的变形越剧烈，越容易导致开裂的发生。临界开裂半径和侧压率随裂纹尺寸的变化分别Input equipment and processing parametersInput crack parametersd=0.000 01d=d+0.000 01d w1J*min|1=J*min|1+J*min|1 J*min|1+Calculate plastic deformationCalculate velocity and strain rate fieldCalculate total power functionalYesYesCritical crack pointCrack closureCrack growthYesEndNoNoNoMinimize total powerCalculate rolling force and plastic deformationStart图6立轧过程能量模型的计算流程图Fig.6Calculationflowchartofenergymodelinverticalrollingprocess0.300.300.40F0/s by present modelF0/s by Yuns model0.500.600.700.400.500.600.7010%error lines图7裂纹能量模型与 Yun 模型的轧制力预测对比Fig.7Comparison of rolling force calculated by crackenergymodelandYunsmodel00.250.300.350.40Friction coefficientWidth of crack/mm0.450.500.550.5Closure zoneAfter vertical rollingAfter horizontal rollingGrowth zonePresent crack pointCritical areaby Yus model1.01.52.02.5图8摩擦因子对轧后裂纹开口宽度的影响Fig.8Effectsoffrictionfactoroncrackwidthafterrolling第4期杨泊莘，等：立轧塑性变形的力学分析及边缘裂纹研究611如图 10（b）和 10（d）所示。图 10（b）中，随着裂纹尺寸的增大，临界开裂半径以近似正比例方式增大，扩展区范围进一步加大，说明增加立辊半径，较大尺寸裂纹将逐渐趋于闭合。图 10（d）显示，裂纹尺寸增加时，临界开裂压下率以近似反比例的方式下降，可见减小压下率同样有利于抑制大尺寸裂纹的开裂，然而考虑到立轧工艺中对宽减量的要求，不建议设置过低的宽减率。0.530Dimensionless rolling force F0/s00.250.500.75Width of crack/mm(a)1.001.25No.1No.21.500.5350.5400.5450.5500.5550.560404143Dog-bone peak position/mm00.250.500.75Width of crack/mm(b)1.001.251.504244454647484950No.1No.2Processparametersasfollows:No.1：w0=0.735m，w=0.038m，h0=0.120m，R=0.550m，m=0.300；No.2：w0=0.780m，w=0.035m，h0=0.110m，R=0.475m，m=0.300图9裂纹尺寸对狗骨骨峰位置（a）和轧制力（b）的影响Fig.9Effectsofcrackshapeonpositionofdog-bonepeak(a)androllingforce(b)31.03940414243440.350.400.45Vertical rolling radius/m(a)(b)(c)(d)0.500.550.0340.0360.0380.0400.042Width reduction rate0.500.751.00Width of crack/mm1.25h0=0.100 mw0=0.650 mw=0.03m=0.500h0=0.090 mw0=0.720 mR=0.500 mm=0.4501.5031.532.032.533.033.534.034.535.0Dog-bone peak position/mmDog-bone peak position/mm0.4300.4350.4400.4450.4500.4550.4600.4650.470Critical crack radius/m0.500.751.00Width of crack/mm1.251.500.036 50.037 00.037 50.038 00.038 50.039 00.039 50.040 0Critical crack reduction rateClosure zoneClosure zoneGrowth zone0.51/mm:1.0Growth zoneCritical crack pointCritical crack point0.51/mm:1.0图10裂纹对边缘变形的影响Fig.10Effectsofcracksizeonedgedeformation612华东理工大学学报（自然科学版）第49卷3结论（1）以立轧过程为研究对象，基于不可压缩条件和刚塑性假设，提出了-三次曲线函数狗骨模型，根据流函数的性质，计算了速度场和应变速率场。采用刚塑性第一变分原理、GA 屈服准则以及共线矢量内积法，得到了立轧过程的总功率泛函，建立了可以准确计算立辊轧制力和钢坯边缘塑性变形的计算方法。结合对具体算例的数值计算，证明了理论模型的可靠性。（2）针对立轧钢坯存在边缘裂纹的情况，推导了包含边缘裂纹在内的总功率泛函理论模型，建立了判断钢坯是否开裂的准则。结合具体算例分析了摩擦因子对钢坯边缘开口宽度的影响，数值计算的结果成功将有限元模型得到的临界开裂参数范围精确为具体的数值。（3）根据所建立的模型，以“V”型裂纹为例，研究了裂纹尺寸与咬入区力学性能的关系。结果表明，随着立辊半径的增加，立辊与钢坯的接触面积增大，轧向阻力变大，质点向宽度中心方向运动的趋势增加，导致骨峰内移。宽减率增大，直接扩大了变形区域，狗骨变形整体向内部延伸。当立辊半径较大时，有利于边缘裂纹的闭合，当半径小于临界开裂点时，裂纹将趋于开裂。随着压下率增大至临界开裂点，裂纹也将由闭合转变为扩展。随着裂纹尺寸的增大，临界开裂半径以近似正比例方式增大，增加立辊半径，较大尺寸裂纹将逐渐趋于闭合。裂纹尺寸增加时，临界开裂压下率以近似反比例的方式下降，可见减小压下率同样有利于抑制大尺寸裂纹的开裂。参考文献：OKADOM,ARIIZUMIT,NOMAY,et al.Widthbeha-viouroftheheadandtailofslabsinedgerollinginhotstripmillsJ.Tetsu-to-Hagane,1981,67(15):2516-2525.1SHIBAHARA T,MISAKA Y,KONO T,et al.Edgerset-upmodelatroughingtraininhotstripmillJ.Tetsu-to-Hagane,1981,67(15):2509-2151.2TAZOEN,HONJYOH,TAKEUCHIM,et 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isestablished.Accordingtotheproposed-cubicfunctiondog-bonemodel,thecorrespondingexpressionsofplasticflowvelocityfield,strainratefield,aswellastotalpowerfunctionalwithcracksizeparametersareobtained.Thecalculationofcriticalcrackpointisachievedafterdog-bonedeformationparametersandrollingforcearesolvednumericallybyusingtheprincipleofminimumenergy.Then,theestablishedcalculationmethodisverifiedbyspecificexamples.Furthermore,theeffectsofcracksizeonrollingparametersandmechanicalpropertiesarest