同济第六版《高等数学》教案WORD版-第10章-曲线积分与曲面积分.doc

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分

教学目的：
1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2. 掌握计算两类曲线积分的方法。
3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。
6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
教学重点:
1、 两类曲线积分的计算方法；
2、 格林公式及其应用；
3、 两类曲面积分的计算方法；
4、 高斯公式、斯托克斯公式；
5、 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。
教学难点：
1、 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；
2、 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；
3、 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；
4、 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；
5、 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

§10.1 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, × × ×, Dsn(Dsi也表示弧长);
任取(xi , hi)ÎDsi, 得第i小段质量的近似值m(xi , hi)Dsi;
整个物质曲线的质量近似为;
令l=max{Ds1, Ds2, × × ×, Dsn}®0, 则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, × × ×, Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为Dsi, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l®0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即.
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.
将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, × × ×, Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长;
在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和;
令l=max{Ds1, Ds2, × × ×, Dsn}, 如果当l®0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即
.
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度.
对弧长的曲线积分的推广: .
如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定
.
闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 .
对弧长的曲线积分的性质:
性质1 设c1、c2为常数, 则
;
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则
;
性质3设在L上f(x, y)£g(x, y), 则
.
特别地, 有

二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为
.
另一方面, 若曲线L的参数方程为
x=j(t), y=y (t) (a£t£b),
则质量元素为

,
曲线的质量为
.
即 .
定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为
x=j(t), y=y(t) (a£t£b),
其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一阶连续导数, 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 则曲线积分存在, 且
(a)(a£x£b),
.
(2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d), 则=?
提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c£y£d),
.
(3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b),
则=?
提示: .
例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.
解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此
.
例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I设线密度为m=1).
解 取坐标系如图所示, 则.
曲线L的参数方程为
x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q
(1)建立曲线积分;
(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;
(3)将曲线积分化为定积分;
(4)计算定积分.

§10. 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, 试求变力F(x, y)所作的功.
用曲线L上的点A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n个小弧段,
设Ak=(xk , yk), 有向线段的长度为Dsk, 它与x轴的夹角为tk , 则
(k=0, 1, 2, × × ×, n-1).
显然, 变力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为
;
于是, 变力F(x, y)所作的功
,
从而
.
这里t=t(x, y), {cost, sint}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量.

把L分成n个小弧段: L1, L2, × × ×, Ln;
变力在Li上所作的功近似为:
F(xi hi)×Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ;
变力在L上所作的功近似为:
;
变力在L上所作的功的精确值:
,
其中l是各小弧段长度的最大值.
提示:
用Dsi={Dxi,Dyi}表示从Li的起点到其终点的的向量. 用Dsi表示Dsi的模.
对坐标的曲线积分的定义:
定义 设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界. 把L分成n个有向小弧段L1, L2, × × ×, Ln; 小弧段Li的起点为(xi-1, yi-1), 终点为(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)为Li上任意一点, l为各小弧段长度的最大值.
如果极限总存在, 则称此极限为函数
f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即
,
如果极限总存在, 则称此极限为函数
f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即
.

设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cost, sint}是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义
,
,
前者称为函数P(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.
定义的推广:
设G为空间内一条光滑有向曲线, {cosa, cosb, cosg}是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义. 我们定义(假如各式右端的积分存在)
,
,
.
,
,
.
对坐标的曲线积分的简写形式:
;

.

对坐标的曲线积分的性质:
(1) 如果把L分成L1和L2, 则
.
(2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
.
两类曲线积分之间的关系:
设{costi, sinti}为与Dsi同向的单位向量, 我们注意到{Dxi, Dyi}=Dsi, 所以
Dxi=costi×Dsi, Dyi=sinti×Dsi,

,

.
即 ,
或 .
其中A={P, Q}, t={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds={dx, dy}.

类似地有
,
或 .
其中A={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }, A t为向量A在向量t上的投影.

二、对坐标的曲线积分的计算:
定理: 设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线
L: x=j(t), yy(t),
上的连续函数, 当参数t单调地由a变到b时, 点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, 则
,
.
讨论: =？
提示: .
定理: 若P(x, y)是定义在光滑有向曲线
L: x=j(t), y=y(t)(a£t£b)
上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致, 则
.
简要证明: 不妨设a£b. 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{j¢(t), y¢(t)},
所以,
从而

.

应注意的问题:
下限a对应于L的起点, 上限b 对应于L的终点, a不一定小于b .
讨论:
若空间曲线G由参数方程
x=j(t), y =y (t), z=w(t)
给出, 那么曲线积分
=？
如何计算?
提示:
,
其中a对应于G的起点, b对应于G的终点.
例题:
例1.计算, 其中L为抛物线y2=x上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧.
解法一: 以x为参数. L分为AO和OB两部分:
AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1.
因此
.
第二种方法: 以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1. 因此
.
例2. 计算.
(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;
(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段.
解 (1)L 的参数方程为
x=a cosq, y=a sinq,
q从0变到p.
因此 .
(2)L的方程为y=0, x从a变到-a.
因此 .
例3 计算. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB .
解 (1)L: y=x2, x从0变到1. 所以
.
(2)L: x=y2, y从0变到1. 所以
.
(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.

=0+1=1.
例4. 计算, 其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段.
解: 直线AB的参数方程为
x=3t, y=2t, x=t,
t从1变到0. 所以
所以 .
例5. 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, F的方向恒指向原点. 此质点由点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), 求力F所作的功W.
例5. 一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比, 方向恒指向原点. 求力F所作的功W.

解: 椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到.
, ,
其中k>0是比例常数.
于是 .

.
三、两类曲线积分之间的联系
由定义, 得

,
其中F={P, Q}, T={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.

类似地有

.
其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }.

§10.3 格林公式及其应用
一、格林公式
单连通与复连通区域:
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边.
区域D的边界曲线的方向:
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有
,
其中L是D的取正向的边界曲线.
简要证明:
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.
设D={(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b}. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有
.
另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

.
因此
.
设D={(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d}. 类似地可证
.
由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得
.
应注意的问题:
对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向.
设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得
, 或.
例1. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A.
分析: 只要, 就有.
解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域.

令, , 则.
于是由格林公式,

=pab.
例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明
.
证: 令P=2xy, Q=x2, 则.
因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ )
例3. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.
分析: 要使, 只需P=0, .
解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有
.
例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.
解: 令, . 则当x2+y2¹0时, 有.
记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得;
当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
,
其中l的方向取逆时针方向.
于是 =2p.
解 记L 所围成的闭区域为D.
当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得
.
当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D1, 应用格林公式得
,
即,
其中l的方向取顺时针方向.
于是 =2p.
分析: 这里, , 当x2+y2¹0时, 有.

二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关:
设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2, 等式

恒成立, 就说曲线积分在G内与路径无关, 否则说与路径有关.
设曲线积分在G内与路径无关, L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线, 则有
,
因为
Û
ÛÛ,
所以有以下结论:
曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意
闭曲线C的曲线积分等于零.
定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式

在G内恒成立.
充分性易证:
若, 则, 由格林公式, 对任意闭曲线L,
有.
必要性:
假设存在一点M0ÎG, 使, 不妨设h>0,
则由的连续性, 存在M0的一个d 邻域U(M0, d),
使在此邻域内有. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线积分
,
这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G内.
应注意的问题:
定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立.
破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.
例5 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.
解: 因为在整个xOy面内都成立,
所以在整个xOy面内, 积分与路径无关.

.
讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？
提示:
这里和在点(0, 0)不连续.
因为当x2+y2¹0时, , 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L所围成的区域内时, 结论未必成立.

三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关.
如果与路径无关, 则把它记为
即 .
若起点(x0, y0)为G内的一定点, 终点(x, y)为G内的动点, 则
u(x, y)
为G内的的函数.
二元函数u(x, y)的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy.
表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分.
那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式

在G内恒成立.

简要证明:
必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得
du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy,
则有 , .
因为、连续, 所以
, 即.
充分性:
因为在G内, 所以积分
在G内与路径无关. 在G内从点(x0, y0)到点(x, y)的曲线积分可表示为
考虑函数u(x, y).
因为 u(x, y)
,
所以 .
类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函数的全微分.
求原函数的公式:
,
,
.
例6 验证:在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.
解: 这里, .
因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有
,
所以在右半平面内, 是某个函数的全微分.
取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为
.

问: 为什么(x0, y0)不取(0, 0)?
例6 验证: 在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.
解 这里P=xy2, Q=x2y.
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有
,
所以在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分.
取积分路线为从O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折线, 则所求函数为
.
思考与练习:
1.在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么
(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?
(2)在G内的闭曲线积分是否为零?
(3) 在G内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?
2.在区域G内除M0点外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, G1是G内不含M0的单连通区域, 那么
(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?
(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?
(3) 在G 1内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分?
3. 在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏
导数, , 但非常简单, 那么
(1)如何计算G内的闭曲线积分?
(2)如何计算G内的非闭曲线积分?
(3)计算, 其中L为逆时针方向的
上半圆周x-a)2+y2=a 2, y³0,

§10. 4 对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质
物质曲面的质量问题:
设S为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为r(x, y, z), 求其质量:
把曲面分成n个小块: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面积);
求质量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一点);
取极限求精确值: (l为各小块曲面直径的最大值).
定义 设曲面S是光滑的, 函数f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小块 DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l®0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作, 即
.
其中f(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面.
对面积的曲面积分的存在性:
我们指出当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的. 今
后总假定f(x, y, z)在S上连续.
根据上述定义面密度为连续函数r(x, y, z)的光滑曲面S的质量M可表示为r(x, y, z)在S上对面积的曲面积分:

如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的
各片曲面上对面积的曲面积分之和. 例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S=S1+S2)就规定
.
对面积的曲面积分的性质:
(1)设c 1、c 2为常数, 则
;
(2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则
;
(3)设在曲面S上f(x, y, z)£g(x, y, z), 则
;
(4), 其中A为曲面S的面积.
二、对面积的曲面积分的计算
面密度为f(x, y, z)的物质曲面的质量为
.
另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为D , 那么
曲面的面积元素为,
质量元素为.
根据元素法, 曲面的质量为
.
因此.
化曲面积分为二重积分: 设曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续偏导数, 被积函数f(x, y, z)在S上连续, 则
.
如果积分曲面S的方程为y=y(z, x), Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为
.
如果积分曲面S的方程为x=x(y, z), Dyz为S在yOz面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为
.
例1 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面
z=h(0 例2 计算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面.
解 整个边界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为S1、S2、S3及S4, 于是

.
提示: S4: z=1-x-y,
.

§10. 5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosa, cosb, cosg)为曲面上的法向量, 在曲面的上侧cosg>0, 在曲面的下侧cosg<0. 闭曲面有内侧与外侧之分.
类似地, 如果曲面的方程为y=y(z, x),则曲面分为左侧与右侧, 在曲面的右侧cosb>0, 在曲面的左侧cosb<0. 如果曲面的方程为x=x(y, z), 则曲面分为前侧与后侧, 在曲面的前侧cos a>0, 在曲面的后侧cosa<0.
设S是有向曲面. 在S上取一小块曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(Ds)xy.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为
,
其中cosgº0也就是(Ds)xy=0的情形. 类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx.
流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))
给出, S是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量, 即流量F.
如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v, 又设n为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体.
当(v,^n)时, 这斜柱体的体积为
A|v|cosq=A v×n.
当(v,^n)时, 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量F为零, 而Av×n=0, 故F=Av×n;
当(v,^n)时, Av×n<0, 这时我们仍把Av×n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量, 它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧, 且流向-n所指一侧的流量为-Av×n. 因此, 不论(v,^n)为何值, 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av×n .
把曲面S分成n小块: DS1, DS2, × × ×, DSn(DSi同时也代表第i小块曲面的面积). 在S是光滑的和v是连续的前提下, 只要DSi的直径很小, 我们就可以用DSi上任一点(xi, hi, zi )处的流速
vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k
代替DSi上其它各点处的流速, 以该点(xi, hi, zi )处曲面S的单位法向量
ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k
代替DSi上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过DSi流向指定侧的流量的近似值为
vi×niDS i (i=1, 2, × × × ,n)
于是, 通过S流向指定侧的流量

,
但 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,
因此上式可以写成
;
令l®0取上述和的极限, 就得到流量F的精确值. 这样的极限还会在其它问题中遇到. 抽去它们的具体意义, 就得出下列对坐标的曲面积分的概念.
提示: 把DSi看成是一小块平面, 其法线向量为ni, 则通过DSi流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积.
此斜柱体的斜高为|vi|, 高为|vi|cos(vi,^ni)=vi×ni, 体积为vi×niDSi .
因为 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k,
vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k,
vi×niDSi=[P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgi]DSi ,
而 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,
所以 vi×niDSi»P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy .

对于S上的一个小块s, 显然在Dt时间内流过s的是一个弯曲的柱体. 它的体积近似于以s为底, 而高为
(|V|Dt)cos(V,^n)=V×n Dt
的柱体的体积: V×nDtDS, 这里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的单位法向量, DS表示s的面积. 所以单位时间