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正态分布教学设计
刘一（湖北省沙市中学）
一、教学目标分析
结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下：
知识与技能目标：
（1）学习正态分布密度函数解析式；
（2）认识正态曲线的特点及其表示的意义；
过程与方法目标：
（1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学；
（2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；
（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。
情感、态度与价值观：
（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情；
（2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。

二、教学内容解析
正态分布是人教A版选修23第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。

三、教学问题诊断
学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。
教学重点：
（1）正态分布密度函数解析式；
（2）正态曲线的特点及其所表示的意义。
教学难点：
正态曲线的特点

四、教学对策分析
通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。

五、教学基本流程
课前自主学习 情境引入 高尔顿板实验 总体密度曲线
正态曲线与函数 课堂练习 正态分布 正态曲线特点 课堂检测 条件及举例 课堂小结 课后查阅

六、教学过程设计
（1）课前自主学习：
1.频率分布直方图用什么表示频率？
2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着 的无限增加，作图时 的减小、 的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是 　　　 曲线。
讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成果。
点评：相信大家已经为今天的学习做好了准备。
设计意图：考虑到学生在必修三中学习频率分布直方图、总体密度曲线，相隔已经有一段时间，设计两个复习题，为学生本节课的学习探究做好铺垫。

（2）情境引入
讲解：屏幕上的钱币是德国的马克，钱币上的头象是德国有“数学王子”之称的高斯。和高斯头像一起出现在钱币上的，还有一段优美的曲线。如此重要的一条曲线是什么曲线呢？它怎样得到？它所表示的意义是什么呢？这是我们本节课需要探究的问题。

设计意图：介绍与正态曲线相关的人文知识。

（三）高尔顿板实验
讲解：同学们见过高尔顿板吗？画面上所示的就是一块高尔顿板。在一块木板上钉着若干排互相错开的圆形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面有一块玻璃。让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
活动：PPT演示
【问题1】：在投放小球之前，你知道小球会落在哪个球槽吗？请第二小组的同学提出你们的猜想，并通过完成这个实验来验证猜想。
学生：不能确定落在哪个球槽符合吗?，符合吗?，符合吗? 依据实验结果，我们猜测，当时，实验结果是落入中间球槽的球个数较多。
讲解：感谢第二小组的同学，实验非常成功。
设计意图：高尔顿板引入，可增强学生参与度。

（四）绘制总体密度曲线
根据统计出的数据绘制绘制频率分布直方图，并绘制总体密度曲线。
【问题2】：这里画出了一个频率分布直方图。其中横轴、纵轴分别表示什么量？
学生：横轴表示与球槽的编号相对应的随即变量X，纵轴表示频率/组距。
【问题3】正确，由频率分布直方图怎样能作出总体密度曲线呢？
学生：增加样本容量，作图时增加组数，减小组距。
【问题4】增加组数、减小组距在高尔顿板试验中怎样可以做到？
学生：增加球槽个数，细化球槽。
讲解：编号相应的随机变量X是一个离散型随机变量，取值不连续。无论怎样增加球槽个数，X仍然是离散型随机变量，我们不如来个彻底的改变，去掉高尔顿板实验中下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，标上刻度，用X表示落下的小球和水平坐标轴接触时的坐标。随机变量X不再是一个离散型随机变量，而一个连续型随机变量。这样，组距和组数就可以在作图时自行决定了。我们将画出的是连续型随机变量X的总体密度曲线。
设计意图：表明正态曲线研究的是连续型随机变量。
【问题5】：请同学们观察曲线的形状，它有什么特点呢？
学生：中间高两边低、左右对称。
设计意图：让学生对曲线形状有个初步认识。
讲解：这条曲线像我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西。因此，我们形象的称这种曲线为钟形曲线。
我们本节课的目标就是学习曲线所对应的函数解析式，总结曲线的特点。请同学们阅读课本并同时思考这两个问题。

（五）正态分布密度曲线，简称正态曲线
讲解：请一位同学回答正态分布密度函数的解析式，及正态分布密度曲线的概念。
这条曲线就是（或近似的是）下面函数的图象：， 其中参数是平均值，是标准差，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

讲解：正态曲线是特殊的总体密度曲线。大家知道这个函数的来历吗？正态分布密度函数的发现发展经过棣莫弗、拉普拉斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力。高斯于1801年得出上面我们见到的函数解析式，但高斯是个非常严谨的人，经过八年的时间完善理论系统，才于1809年将结论公布于世。同学们现在是站在巨人的肩膀上，相信大家今后会有更高的成就。
设计意图：解决了本节课开始时设置的悬念，并增加了数学课堂的人文情怀。

（六）课堂练习
不积跬步，无以至千里。现在，我们通过几个练习题来巩固公式：
1．已知正态总体的函数表达式为，平均值 0 ，标准差 1 ；
2．已知正态总体的平均值，标准差，请写出正态总体密度函数 。
答：
3.根据右图中所示正态曲线，写出正态总体密度函数。
讲解： 请第四小组的同学回答这三个练习题。
讲解：哪位同学能谈谈解题心得体会。
讲解：我赞成这位同学的观点。学习了正态分布密度函数、正态曲线，才能得到正态分布的概念。
设计意图：熟悉正态分布密度函数解析式。

（七）正态分布
【问题6】： 请问总体密度曲线是如何刻划概率的？
学生：面积。
讲解：准确的说，由直线、、曲线与轴围成的曲边梯形的面积就是X落在区间上的概率的近似值。如果随机变量X落在区间内的概率的近似值为求积分所得，就称随机变量X服从正态分布。
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量X服从正态分布。
正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作。
随机变量X服从正态分布，记作。

（八）正态曲线的特点
讲解：正态曲线一方面是函数的图象，另一方面正态曲线刻画了随机变量的概率分布规律，因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点。
活动：请同学们以组为单位讨论正态曲线的共同点。
讲解：请同学们展示你们讨论的结果。（回答完毕PPT展示）
学生：正态曲线特点
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称
（3）曲线在处达到峰值
（4）曲线与轴之间的面积为1
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
（6）当一定时，曲线形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散
讲解：这两组同学的结论既完整又准确。我们一起来直观感受对曲线的影响。
设计意图：知识的总结定型过程，必不可少。
活动：请同学们各自写出一个正态分布密度函数，并大致描出对应的正态曲线。请第九、第十小组的代表展示成果。

（九）课堂检测
1.请写出一个正态分布密度函数，并大致描出对应的正态曲线。
讲解：请第九、第十小组的同学在小黑板上完成，完成后上来展示。并点评。
设计意图：设置开放性检测，难度更大，考察学生对解析式、曲线的熟悉程度。

（十）随机变量服从正态分布的条件
讲解：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。
正态分布是一个常态分布，在现实生活中，很多随即变量都服从或近似服从正态分布。如：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量的结果；在生物学中，某一群体的特征；在气相中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等。
总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中。
正态分布在概率和统计中占有重要的地位。

（十一）课堂小结：
请第八小组的同学带领大家回顾一下，本节课我们有何收获？
设计意图：鼓励学生自己梳理知识，发挥学生的主观能动性。
（十二）课后查阅
1.正态分布的实际应用；
2.正态分布的发展史。

（十三）板书设计：
一、正态分布密度函数：
二、正态曲线：的图象
三、正态分布：对实数，， ，则
四、正态曲线的特点：

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