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《二项式定理》教学设计
课题
二 项 式 定 理
时间
2011.3
【课型】：
新 授
【课时】：
1课时
本节课的性质地位及作用
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：
（1）    由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识.
（2）    由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识.
（3）    基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用.
（4）    二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法.
学情分析
（1）学生已经学会了（a+b）2 （a+b）3 的展开式，但不知道（a+b）n  （n>3,n为整数）的展开式。
（2）该班学生在学习上具有坚毅、勤奋、刻苦的优良品德，自主学习数学的热情很高。

教学目标

知识与技能目标

掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.

过程与方法目标

通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力.

情感态度价值观目标

激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
教学重点难点
教学
重点

二项定理的推导及运用
教学
难点

（1）二项式定理及通项公式的运用
（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别

教 学 过 程 设 计
教学内容
教学手段与方法

教师教授活动

学生学习活动
设计宗
旨与意
图

新

课

学

习

新

课

学

习

启
发
提
问

【创设问题情境】今天是星期天，15天后是星期几，30天后，8100 天后呢？

【问题1】： （a+b）2 =( a+b)( a+b)的展开式有多少项？
【回答】15天和30天后
【思考】8100 天后是星期几？
（1）星期几以7为周期计算（2）8100
=(1+7)100
为引入（a+b）n
做准备
【问题2】：
（a+b）3 =( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？
亲自展开
为后面的证明做准备
【问题3】：（a+b）4
=( a+b)( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？ 你能准确的写出这些项吗？

讲
授
探
究
【启发类比】4个袋子中各有红球a 白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？ 各种取法有多少种？
在4个括号（袋子）中
（1）若每个括号都不取b
只有一种方法得到a4,即种。
（2）若只有一个括号取b共有种方法取到 a4b。
（3）若只有两个括号取b共有种方法取到 a2b2。
（4）若只有三个括号取b共有种方法取到  a1b3。
（5）若只有四个括号取b共有种方法取到  a0b4。
理解袋子和括号的相同点
为证明二项式定理做铺垫

引导学生发现：原始展开式中确实有同类型存在，且可合并
因此：

【问题4】： 的合并后的展开式中的系数是多少？有何理由？
根据展开式归纳
这是后面证明的关键
那么该如何轻松清晰的将展开？请同学们归纳猜想。

学生很轻松的根据前面的过程写出其展开式

合
作
探
究
【证明思路】：主要运用数学计数原理
（1）展开式中为什么会有哪几种类型的项？
（2）展开式中的各项的系数是怎么得来的？
学生根据袋子中取球的例子回答。

讲

授
【板书】：一般的对于任意正整数n 下面的关系式成立：

说明：（1）公式的左边叫二项式，右边叫二项展开式
（2）二项式中的a，b只是一种符号，可以是任意的数或者式子，只要是两项和的n次幂的形式都可以用二项式定理展开。

归纳展开式的特点：
（1）项数是n+1项
（2）系数  都是组合数,依次为C,C,C,…,C
(3) 指数的特点  a的指数 由n       0(降幂)。                                                 b的指数由0       n（升幂）。             a和b的指数和为n。
(1)板书的示范作用
(2)归纳出系数的特点才能记住二项式定理

【学以致用】：你现在能知道8100 天后是星期几吗？（星期四）
学生会很快得出
8100=(1+7)100  展开进行计算

例

题

讲

练

启

发

讲

授
【例1】求（1+2i）5的展开式
（1+2i）5=C+C2i+C(2i)2+
             =1+10i-40-80i+80+32i
=41-38i

（完整板书）
学生先练，
老师后讲
二项式定理的直接应用
【例2】若（1+2x）7
=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求
（1）展开式中各项系数和。
（2）a0+a2+a4+a6的值。
解：（1）利用赋值法，令x=1，得
（1+2）7
=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187  （1）
     令x=-1，
（1-2）7
=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1        （2）
（1）+（2），得
2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186
即a0+a2+a4+a6=1093
（完整板书）
分清本题的各项的系数和 和二项式的系数和的区别
由这个恒等式a，b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。

启

发
【练习】：
（+2x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，
求（a0+a2）2-（a1+a3）2的值。
答案：-1

（学生书写）
根据式子的特点用平方差公式展开，发现是正负交替出现，自然想到赋值，令x=1和x=-1进行求解。
赋值法的应用

启

发
【例3】：  求1-90C+…+（-1）k90C+…+90C除以88的余数。
解：1-90C+…+(-1)k90C+…
+90C=（1-90）10
 =（88+1）10
=C8810+C889+…+ C88+C
所以原式除以88的余数为1
（学生书写）
（1）这个式子是二项式吗？其值等于多少？
（2）一个数除以88，这个数写成什么样的特点合适？
定理的
逆向应用

小

结

1．    本节主要学习了《二项式定理》的展开式的特点和证明方法。
2．    学习了《二项式定理》在解题中的应用。
其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等
学生小结
老师补充
让学生进一步明白二项式定理的内容和应用

板

书

设

计

【板书设计】：
二项式定理：
一般的对于任意正整数n 下面的关系式成立：

特点：
【例1】：

【例2】：
【练习】：

【例3】：