2016年上海市普通高中学业水平考试数学试卷.docx

2016年上海市普通高中学业水平考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷共4页，29道试题，满分120分，考试时间90分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。
3.答卷前，务必在答题纸上填写姓名、报名号（春考考生填写春考报名号）、考场号、座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
4.作答必须涂或写在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1. 复数（为虚数单位）的实部是_____________.
2. 若，则____________.
3. 直线与直线的夹角为_____________.
4. 函数的定义域为______________.
5. 三阶行列式中，元素的代数余子式的值为________________.
6. 函数的反函数的图像经过点，则实数______________.
7. 在中，若，，，则_______________.
8. 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为______________（结果用数值表示）.
9. 无穷等比数列的首项为，公比为，则的各项的和为_____________.
10. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则_____________.
11. 函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是_________________.
12. 在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为_______________.
二、 选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分.
13. 满足且的角属于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
14. 半径为的球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15. 在的二项展开式中，项的系数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16. 幂函数的大致图像是（ ）

17. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
（A） （B） （C） （D）
18. 设直线与平面平行，直线在平面上，那么（ ）
（A）直线平行于直线 （B）直线与直线异面
（C）直线与直线没有公共点 （D）直线与直线不垂直
19. 在用数学归纳法证明等式 的第步中，假设时原等式成立，那么在时，需要证明的等式为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
20. 关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
（A）焦距相等，渐近线相同 （B）焦距相等，渐近线不相同
（C）焦距不相等，渐近线相同 （D）焦距不相等，渐近线不相同
21. 设函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
22. 下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
23. 设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：若，则；若，则. 关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
（A）成立，不成立 （B）不成立，成立
（C）成立，成立 （D）不成立，不成立

24. 对于椭圆. 若点满足. 则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点构成的图形为（ ）
（A）三角形及其内部 （B）矩形及其内部
（C）圆及其内部 （D）椭圆及其内部
三、 解答题（本大题满分48分）本大题共有5题.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
25. （本题满分8分）如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为，求异面直线与所成的角的大小.

26. （本题满分8分）已知函数，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值时的值.

27. （本题满分8分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点的距离.

28. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
已知数列是公差为的等差数列.
(1)若成等比数列，求的值；
(2)设，数列的前项和为. 数列满足.
记，求数列的最小项（即对任意成立）.

29. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.
对于函数，记集合.
（1）设，，求；
（2）设，，.如果，
求实数的取值范围.

2016年上海市普通高中学业水平考试
数学试卷
答案要点
一、（第1题至第12题）
1.3； 2.7； 3.; 4.; 5.8; 6.1
7.; 8.24; 9.3; 10.; 11.； 12.4.
二、（第13题至第24题）
题号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
代号
B
D
C
C
A
C
D
B
B
D
A
B
三、（第25题至第29题）
25.[解]设正三棱柱的高为，则.
由，得.
因为，所以与所成的角等于与所成的角.
联结.在中，
，
由，
得.
故异面直线与与所成的角的大小为.
26.[解]由已知得，
从而的最小正周期为，
的最大值为，
此时.
27.[解]以反射镜的轴即抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系，如图.
设抛物线的方程为.
由题设，得点的坐标为.
因为在抛物线上，
所以，得，
从而抛物线焦点的坐标为，
即灯泡与反射镜顶点的距离为.

28.[解]（1）由已知，，解得.
（2）因为，所以时，

.
又，所以.
时.
.
.
当时，；当时，.
因此，数列的最小项.
29.[解] （1）易知与的定义域均为，.
当时，由，得，解得，所以；
当时，由，得，解得，所以.
因此，.
（2），.
由，可知，,
所以对于恒成立，
即对于恒成立，令
由于与在上单调递减，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
因此，，从而，即.
所以，实数的取值范围是.

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