浙江大学2010-2011秋冬学期微积分I期末考试-2.doc

微积分习题一

一、填空题（每题3分，总计15分）。
1、，则 .
2、设在处连续，且，则 .
3、已知在处有极值-2，则的极大值为 .
4、已知 .
5、若向量垂直于向量与向量，且与向量
的数量积等于-6，则向量 .

二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）
1、 1、 设函数，下列关系正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
2、 2、 下列广义积分收敛的是（ ）.
A. B.
C. D.
3、 3、 已知= （ ）.
A. 1 B. e C. 2 D. 0
4、曲线 的弧长为（ ）.
A. B. C. D.
5、函数 处处连续，则 ( ).
A. 2 B.-2 C. 1 D. –1

三、计算题（每题6分，总计48分）。
1.设连续，且 求
2.设函数可导，求 的导数。
3.已知是由方程 所确定的隐函数，求.
4.已知，求 在 处的值.
5. 求
6 求
7.求通过直线 和点的平面方程.
8.已知 求
四、应用题（15分）。
1、设直线与抛物线 所围成的图形的面积为又设与直线 所围成的图形的面积为
（1） （1）   试确定的值及使 达到最小，并求出最小值.
（2） （2）   求由该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？
五、证明题（共7分）
1. 1.      证明不等式 在 时成立.
2. 设在上连续，内可导，且
试证明存在 ，使得

答案：
一、填空题（每题3分，总计15分）。
1、 2、 A. 3、极大值为.
4、. 5、.

二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）

1.B 2.C 3.D 4.A 5. B

三、计算题（每题6分，总计48分）。
1.设连续，且 求

2.设函数可导，求 的导数。

3.已知是由方程 所确定的隐函数，求.

4.已知，求 在 处的值.

5. 求

6. 求

7.求通过直线 和点的平面方程.

8.已知 求

四、应用题（15分）
1.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？

2、设直线与抛物线 所围成的图形的面积为又设与直线 所围成的图形的面积为
（3） （1）   试确定的值及使 达到最小，并求出最小值.

（4） （2）   求由该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？

五、证明题（共7分）
2. 1.      证明不等式 在 时成立.
令

2. 设在上连续，内可导，且
试证明存在 ，使得

微积分习题二

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 极限＝_______.
2. 曲线的凸(向上凸)区间是______________.
3. 3.    设在内处处可导，则极限
＝____________________.
4. 4.    曲线绕轴旋转而成的曲面方程是_______________.
5. 5.    微分 ＝_________________.
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设均为非零向量，则与向量不垂直的向量为（ ）.
A. B. C. D.
2. 若函数满足，则此函数必( ).
A.有极值 B.无极值 C.不单调 D.不可导
3. 下列广义积分发散的是( ).
A. B. C. D.
4. 星形线的全长是( )
A. B. C. D.
5. 一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，比例常数为，则此物体从移至时克服媒质阻力所作的功为( ).
A. B. C. D.

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求极限.
2. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数

3. 设函数由方程所确定，求 .
4. 计算积分

5. 计算积分.
6. 计算定积分

7. 直线过点且与直线相交，又平行于平面
，求此直线方程.

四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
1. 1.    在一个半径为的圆内内接一个矩形，当矩形的长和宽为多少时，
矩形的面积最大？

2. 求由曲线与轴所围成的平面图形的面积，及此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.

五、证明题（本大题共2小题，第1小题4分，第2小题3分）
1. 当时，证明不等式.

2. 设在上连续，在上可积，且，则在上至少存在一点，使得.

答案：
一 1.   2. 3.
4. 5.

二 1. 2. 3. 4. 5.
三 1.解: 原式
2.解:

3.解: 方程两边同时微分得:

整理得:
即

4.解: 原式

5.解: 原式

6.解: 原式=

7.解: 过点与平面平行的平面方程为
记为
与的交点为方程组的解
解得交点为
故所求的直线方程为：
四 1.解: 设矩形的长和宽分别为
则满足 , 矩形面积

解得(负值舍去)
当时 时
故在时,取得极值
考虑实际意义,在区间端点处
故在时,取得极值即为最大值
2.解: 曲线与轴的交点为:和

五 1.证明: 令
则
故单调减少,即
所以
2.证明: 令
取分别为在上的最大值和最小值
则
故由连续函数介值定理知:
使得
即:

微积分习题三
浙江大学2004级微积分（上）期中测验试题解答
一、 填空（每小题4分，共32分）
1． 判断下列函数的间断点的类型：是的 第一类（可去） 间断点；是
的 第一类（跳跃） 间断点；是的 第二类 间断点。
2．若，则。
3．若 ，则。
4．设当时，是比高阶的无穷小，则。
5．设，则其n阶导数在点处取到极小值。
6．设点是曲线的拐点，则参数。
7．函数的图形有铅垂渐近线 和斜渐近线。
8．已知，且，则。

二、 计算与证明（共68分）
1． （6分）解：

2． （6分）
解1：
解2 ：

3． 设，试确定a，b，使在处可导，并求。（8分）
解： 在处可导因而连续，

，且
则
4． 求由方程所确定的函数的微分以及在处的切线方程。（8分）
解： 方程两边求微分：   
或
切线斜率 ，
切线方程为： 即
5． 设，求以及在处的曲率半径。（8分）
解：
曲率 ，
则 曲率半径

6． 求的取值范围，使得方程有实根。（8分）
解：设
故有唯一极小值点 ，极小值为 。而
当时，方程有唯一实根，当时，方程有两个实根，于是，。
7． 设，试证存在，并求此极限。（6分）
证： ，设成立，
则单调递增。
又 设 成立，
则 有上界。于是收敛。
设， 则， 。

8． 设在上可导，且，试证至少存在一点，使
。（6分）
解： 设在上连续，可导，且

由罗尔定理，至少存在一点，使，即 。
9． 求（6分）
解：
10． 求 （6分）
解：