直线与椭圆位置关系教学设计.doc

直线与椭圆的位置关系 （教学案例）
一、教学目标
1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；
2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；
3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；
4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.
二、重点难点
利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题.
三、教学方法 导学——讨论式，多媒体课件辅助教学.
四、教学过程
（一）设置情境 导入新课
在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x (有时也可以转化为关于y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题.
（二）探索研究
问题1： 当实数m分别取何值时，直线l：y=x+m与椭圆9x2+16y2=144 相交、相切、相离？
分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于x的一元二次方程25x2+32mx+16m2-144=0，
∵△=576(25- m2)，
∴当(1)△>0，即 -55，时，直线l与椭圆相离.
将曲线位置关系的研究的问题转化为方程根的讨论的问题，这是本节课的核心。在不同的范围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想。
问题2： 过椭圆内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M恰为该弦的中点，求该弦所在直线l的方程(如图)。
分析一：设l：y-1=k(x-2)交椭圆于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
A
O
·
B
x
l
y
M

将直线方程代入椭圆方程化为 x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0.
则由韦达定理得……，故所求直线方程为x+2y-4=0.
这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，
必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.
分析二：同上所设，因为点A、B都在椭圆上，则得
①
②
经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：
(x1+x2) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0
可以知道式中的 x1+ x2=4，y1+y2=2，那么得4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0.
根据上式能得到什么呢？得到直线l的斜率，则…….
①、②两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！
分析三：设A(x，y)，则得 x2+4y2=16 ③
又M(2，1)是AB的中点，所以B(4-x，2-y)，又点B也在椭圆上，
则得 (4-x)2+4(2-y)2=16 ④
③、④两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！
③-④化得……
没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。
分析四：椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线……
由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法.
问题3 ： 椭圆C的焦点分别为F1(-2，0)、F2(2，0)，椭圆E以C的焦点为焦点，且过直线x+y-9=0上的一点P，当椭圆E的长轴最短时，求椭圆E的方程.
分析一：如图，在直线l上求一点P，使P到直线l外的两个已知点A、B的距离之和
A
P
B
l
C

最短.
在初中时解过此题，作点B关于直线l的对称的点C，连AC交
l于点P，则P为所求之点，即P到A、B两点的距离之和最短.
利用上面的结论，即可得椭圆E的方程为.
贮存在脑中的初中知识在这里显示出它的巨大作用.
分析二：由已知可设椭圆E： .
与直线l的方程联立，化得关于x的一元二次方程，由△=0得解……
当椭圆E与直线l相切时，椭圆E的长轴最长，故得上述解法.
问题4： 若椭圆ax2+by2=1(a>0，b>0)与直线l：x+y=1交于A、B两点，M是AB的中点，直线OM的斜率为2，且OA⊥OB(O为原点)，求椭圆的方程.
分析：欲求椭圆的方程，只要求出a、b 的值，构建关于a、b的方程组是解决问题的关键为此，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则M.
OM所在直线为y=2x，与直线AB的交点为，由椭圆与直线l的方程消去y得
(a+b)x2-2bx+b-1=0，则由韦达定理得 ①
再设法求得关于a、b的一个方程，由已知得x1x2+y1y2=0.
再由韦达定理得 a+b=2 ②
解①、②可得，则所求椭圆方程为.
在《解析几何》问题的解答过程中，往往有比较麻烦的计算，不应该被这种“简单的复杂计算”挡住了我们的去路，这也是对我们意志品质的考验和锻炼.
问题4的变式 ： 将直线OM的斜率改变为，将条件“OA⊥OB”改为“弦AB的长|AB|为”，求椭圆的方程.
分析一：由弦长公式得关于a、b的一个方程，
再由已知得另一个关于a、b的一个方程.
解此方程组可得所求椭圆方程为.
分析二：因为M是AB的中点，那么|AM|=|BM|=.
又点A、B都在直线l上，所以得A、B.
代入椭圆方程即可得解.
（三）课堂练习 苏教版《课课练》P.103的T2、T3.
（四）提炼总结
1.解决椭圆与直线的位置关系的问题时，一般是将曲线问题转化为方程或方程组的问题，从而以“数”为工具解决“形”的问题，这种“数”与“形”之间的互相转换是多种数学思想的充分体现；
2.在解决有关问题时，首先要努力设法运用常规的方法，即“通性、通法”，这是学习数学的一条最重要的准则，所以必须熟练掌握有关的基础知识和基本技能，并努力做到融会贯通和灵活运用；
3.解决这类问题并不需要多么高的智商，只要基础比较扎实，再加上个人的良好的个性品质，就能做到无往而不胜.
（五）作业布置 苏教版《课课练》P.103的T9、T10.
（六）板书设计
直线与椭圆
一、直线和椭圆的位置关系
……
二、探索研究 ……
三、提炼总结 ……
问题1 ……
问题2 ……
问题3 ……
变式题
练习题
……
教学后记：
通过本节课的教学，我深刻感受到一份高质量的教学设计可以使一节课事半功倍，教师讲的轻松；学生学得愉快。而这一切都得益于新的教学理念：在民主、平等的课堂气氛中，师生互促、互动，学生集思广益，攻克一个个数学堡垒；本节课的四个问题的各种解法，完全是由学生各自提出并由集体加以调整、矫正、完善的。教者仅仅是“讨论会”秩序的维持者。良性循环形成之后，主动发言权越是放给学生，他（她）们发言之前越是深思熟虑，比如问题4中的利用向量解决垂直问题由班中一位同学提出只后，问他为什么不用斜率来处理，他回答：“可以避免讨论”。令全班同学都拍掌叫好。可见：民主、平等、互促、互动的课堂是培养学生创新能力的源泉。
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