数学物理方法期末考试答案.doc

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天津工业大学（2009—2010学年第一学期）
《数学物理方法》(A)试卷解答(2009.12 理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

满分
30
42
20
8
总分
复
核
题目
一
二
三
四
得分

评阅人

满分
30
得分

一.
填空题(每题3分,共10小题)

1. 复数 的指数式为： ；

三角形式为： .

2. 以复数 为圆心，以任意小正实数 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为点的 邻域 .

3. 函数在一点可导与解析是 不等价的
(什么关系？).

4. 给出矢量场旋度的散度值，即 0 .
5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .

6. 若函数在某点不可导，而在的任意小邻域内除外处处可导，则称为的 孤立奇点 .

7. 函数的挑选性为 .

8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和

初始条件 .

9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、

输运方程 和 稳定场方程 .

10. 写出阶勒让德方程: .

满分
42
得分

二 计算题(每小题7分，共6小题)

1. 已知解析函数的实部，求该解析函数().
解： ，，，.
, 是调和函数. 2分
利用柯西-黎曼条件
,, 即，,， 2分
于是，

. 2分
所以，. 1分
2. 给出如图所示弦振动问题在点处的衔接条件.
解：

, 2分
, 2分
又因为
, , 2分
所以，
. 1分
3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.

解：三维输运方程为
(1分)
分离时间变数和空间变数,以
(2分)
上式代入方程,得
(1分)
令上式等于同一常数,
(2分)
则得骇姆霍兹方程为
(1分)

4. 在邻域把展开(不是整数).

解：先计算展开系数：
， ；
； ；
； 5分
,
所以，在邻域上的泰勒级数为

. 2分
5. 计算.
解： 因为(为整数，包括零)，有，因此，是极点.但是，在圆内的极点只有.又由于
1分
， 2分
， 2分
所以，
. 2分

6. 求拉氏变换,为常数.
解: , 2分

2分
2分
1分

满分
20
得分

三. 计算题

求解两端固定均匀弦的定解问题

，，
，.

解: 设此问题的解为

代入方程和初始条件，得
，
，，
可得，
，
，，
令，

所以，
，(本征值问题)

下面先求解本征值问题：
当时， ，

由初始条件，得 ，
因此，，解无意义.
当时， ，
同样由初始条件，得 ，
因此，，解无意义.
当时， ，
由初始条件，得 ，，
所以，，即， (为正整数)，
因此本征值为：
本征函数为：， 为任意常数. 10分
方程的解为：，
因此，
，
此问题的通解为：
，
代入初始条件得
， ，
所以，
， . 10分

满分
8
得分

四. 简答题

给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.

解： 泊松方程为： 3分
令 ，取唯一特解， 2分
则 2分
然后求解拉氏方程 得。 1分

《数学物理方法》(A卷解答)第 8 页 共 8 页