一元二次方程根的判别式教学设计.doc

一元二次方程根的判别式
一、教学内容分析
    “一元二次方程的根的判别式”一节，它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式的正确理解和运用
教学难点：根的判别式的运用。
教学关键：对根的判别使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对根的判别式的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究根的判别式的作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
   依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：
知识和技能：
 　1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
 　2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
 　3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
过程和方法：
 　1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：
序号
教师
学生
1
设置悬念 引发兴趣
争先恐后，欲解疑团
2
设计练习，创设情境
动手解题，亲身感知
3
启发引导，发现结论
观察分析、得出结论
4
引导学生，理论验证
阅读理解，自学教材
5
揭示定理内涵
加深认识理解
6
应用定理，解决问题
巩固应用，形成技能
7
归纳小结
整体把握
8
布置作业
巩固提高
五、教学流程：

<一>、设置悬念，引发兴趣：
 【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
【学生】会争先恐后地编题考老师

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。
 【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。
用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）
（1）x（5x+21）=20  （2）x2+9=6x  （3）x2-3x=-5
    (注：找三名学生板演，其余学生在练习本上做)
【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻从而发挥了学生的主观能动性。

<三>启发引导，发现结论：
 【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值—— ，为什么要这样做呢？
【学生】会初步说出 的作用是：它能决定方程是否可解。
【教师】（1）由此可见：在解一元二次方程时，根的判别式△=b2-4ac
起着重要的作用，显然我们可以根据△=b2-4ac的值的符号来判断一元二次方程的根的情况，因此，我们把△=b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b2-4ac 。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。
（2）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。

【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：  的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：
      【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真阅读课本的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。
     【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。

【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。
<五>揭示定理：
【教师】（1）由此我们就得出了关于
     若△＞0 则方程有两个不相等的实数根
     若△ =0 则方程有两个相等的实数根
     若△＜0则方程没有实数根
 （2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
      若方程有两个不相等的实数根，则△＞0
     若方程有两个相等的实数根，  则△=0
     若方程没有实数根，          则△＜0
 （3）定理与逆定理的用途不同
     定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
    逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。
 （4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。

【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。

重中之重

  <六>应用定理，解决问题：
【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。
例1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）
（1）2（x+3）2=x（x+3） （2）x2-2x+2=0
（3）x2-8x=0   （4）2x²+bx+7=0
    分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
    （4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。
 分析：我先提出两个问题：
（1）是谁决定了方程有无实数根？
 （2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
     例2 求证:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。
     注意；例1，例2之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。
小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后判断△的符号。
③根据根的判别式定理，写出结论。
（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成
 等式形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。
学生练习；
不解方程，判别下列方程根的情况:
1.（1）3x2-x=4   （2）（x+3）（x-4）=6
（3）（x+3）2=（1-2x）2
2. k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；

学以致 用

【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。

注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。
分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。
 注意：本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

<七>归纳小结
 【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
 （2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

判别式的情况
根 的 情 况
定 理 与 逆 定 理

△＞0

△＝0

△＜0

【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。

<八>布置作业：
   1、阅读课本内容；
  2、不解方程判定下列方程根的情况：
  (1)2x2+3x-4=0 （2）3x2+5x-2=0 （3）x2+2x-4=0
3.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为Rt
4.（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;
（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;

【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。