芜湖一中2014—2015学年第一学期期末考试.doc

芜湖一中2014—2015学年第一学期期末考试
高二数学（文科）试卷
一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上）
1．下列命题中正确的命题的是
A．平行于同一平面的两条直线平行 B．与同一平面成等角的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行
2．已知点和点，且,则实数的值是
A．或 B．或 C．或 D．或
3．过点且与直线垂直的直线方程是
A． B．
C． D．
4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是,则正方体的表面积是
A． B． C． D．
5．在正三棱柱中，，则与平面所成的角的正弦值为
A． B． C． D．
6．圆上到直线的距离为的点共有
A．个 B．个
C．个 D．个
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．

8．如图:直三棱柱的体积为，点、分别在侧棱和上，，则四棱锥的体积为
A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线 相切，则圆面积的最小值为
A． B． C． D．
10．已知点共面，且若记到中点的距离的最大值为，最小值为，
则的值是
A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）
11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．

（11题图） （13题图）
12．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，则实数的取值范围是___________．
13．如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是 ．
14．如图，正方体，则下列四个命题：
①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；
③在直线上运动时，二面角的大小不变；
④是平面上到点D和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线．
其中正确的命题是 ．
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是________．

三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）
学校 班 姓名 准考证号 成绩

/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /

密 封 线 不 要 答 题

/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /

密 封 线 内 不 要 答 题

16．（本题8分）求经过直线与直线的交点，且满足下列条件的直线方程．
（1）与直线平行；
（2）与圆相切．

17．（本题8分）已知方程.
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于，两点，且（为坐标原点）求
的值．

18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

19．（本题8分）如图，在直三棱柱中，，，是上一点， 平面．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角．

20．（本题9分）在如图所示的四棱锥中，已知面，，，，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值．

21．（本题9分）如图所示，已知直线l：y＝x，圆C1的圆心为点(3，0)，且经过点A(4，1)．
(1)求圆C1的方程；
(2)若圆C2与圆C1关于直线l对称，点B、D分别为圆C1、C2上任意一点，求|BD|的最小值；
(3)已知直线l上一点M在第一象限，点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，直线PQ与圆C1相切？
芜湖一中2014-2015第一学期高二（文科）数学期末考试答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
A
A
C
C
B
C
A
D
二、填空题（每题4分，共20分）
11． 3：1：2 12． 13．
14． ①③④ 15．
三、解答题（共50分）
16．（8分）
解：解得，所以交点（-1，2）--------2分
1）直线方程为--------4分
（2）直线方程为-----6分
和------8分
17．（8分）
解：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．--------3分
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0。
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y
得5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，
又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-( x1+x2)+4=0
将①、②代入得m=．--------8分
18．（8分）
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，
所以PD⊥BC，由∠BCD=90°，得BC⊥DC，又PD∩DC=D，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD，因为PC平面PCD，所以PC⊥BC．--------4分
（2）解：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°，
从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1，由PD⊥平面ABCD及PD=1，
得三棱锥P-ABC的体积，因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，
所以PD⊥DC，又PD=DC=1，所以，
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积，由，得，因此，点A到平面PBC的距离为．--------8分
19．（10分）
（1）略证：易证,可得平面--------4分
（2）转化为与所成的角，在△中可求--------8分
20．（9分）
解：（1）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，
∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,
则MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD --------3分
（2）取PC中点N，则MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，又,∴BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC所以，为直线MC与平面PAC所成角，
--------6分
（3）取AB的中点H，连接CH，则由题意得，又PA⊥平面ABCD，所以，则平面PAB.所以,过H作于G,连接CG，则平面CGH,所以则为二面角的平面角.

则，
故二面角的平面角的正切值为--------9分
21．（9分）
解：（1）依题意，设圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝r2，因为圆C1经过点A(4，1)，所以r2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝2. --------3分
(2)由(1)知圆C1的圆心坐标为(3，0)，半径为，C1到直线l的距离d＝，
所以圆C1上的点到直线l的最短距离为.
因为圆C2与圆C1关于直线l对称，所以｜BD｜min＝2×＝.--------6分
(3)当运动时间为t秒时，｜OP｜＝t，｜OQ｜＝2t，则P(t，0)，由Q∈l，可设点Q的坐标为(m，m)(m＞0)，则m2＋m2＝(2t)2，解得m＝2t，即Q(2t，2t)，所以kPQ＝＝2.所以直线PQ的方程为y＝2(x－t)，即2x－y－2t＝0.
若直线PQ与圆C1相切，则C1到直线PQ的距离d′＝＝，
解得t＝3±.即当t＝3±时，直线PQ与圆C1相切．--------9分

7