二轮复习教案《集合与常用逻辑用语》.doc

专题一 集合、函数与导数
专题一第一讲 集合与常用逻辑用语
一、 考试说明要求
内 容
要 求
1、集合
集合及其表示
A
子集
B
交集、并集、补集
B
2、常用逻辑用语
命题的四种形式
A
必要条件、充分条件、充分必要条件
B
简单的逻辑联结词
A
全称量词与存在量词
A
二、例题
1、（1）已知集合M=｛a2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是
(2) 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1 .
(3) x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________
[解析]：(1)M∩N=｛-3｝ N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝
若a-3=-3, 则a=0,此时M={0,1,- 3} ,N={- 3,- 1,1} 则 M∩N=｛-3,1｝故不适合
若2a-1=-3,则a= - 1,此时M={1, 0,- 3}, N={- 4,- 3, 2}
若a2+1=-3,此方程无实数解
(2)∵A∪B=A，∴BA,又B≠∴即2＜m≤4
(3) 由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=
2、已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.
（1）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；
（2）对任何具有性质的集合，证明：；
解析：（1）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是
；
（2）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,又因为当，
所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.
3、对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记作A和B.
（1）若，求证：.
（2）若且，求实数a的取值范围。
解析：（1）因为则
即
（2）A中元素是方程即的实根。由知或即。B中元素是方程的实根。由知上述方程左边含有一个因式，所以方程可化为，因此，要A＝B，则只需方程①没有实根，或①实根就是方程②的实根，若①无实根则解得：；若①有实根，且①的实根是②的实根，联立方程①②解得，故a的取值范围是.
4、（1）已知命题，命题p的否定为命题q，则q是“ ”；q的真假为 （填真或假）.
（2）设原命题：“若，则a,b 中至少有一个不小于1”.则原命题的逆否命题与其逆命题的真假情况是: 原命题的逆否命题为 ；原命题的逆命题为 .
解析：（1）q：“；假. (2) 真；假.
5、(1)若""和""都是真命题,其逆命题都是假命题，则""是""的 条件。
(2) 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 .
[解析]：（1）充分非必要条件
（2）一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是,即 而的一个充分不必要条件是
6、设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则
bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0
所以bnbn+1 ( n=1,2,3,…)成立。
又cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…)
所以数列{cn}为等差数列。
充分性： 设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,…)
∵cn=an+2an+1+3an+2 ① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ②
①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2
∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④
④-③得（bn+1–bn）+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤
∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…)，
由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,…)则an–an+2= d3(常数).
由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3
从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3 ，
两式相减得cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3
因此(常数) ( n=1,2,3,…)
所以数列{an}公差等差数列。
三、作业
1、已知全集为集合，则
解析：因为所以又因为，所以
2、设集合若B是非空集合，且则实数a的取值范围是
解析：利用数轴可得：
3、设集合那么“”是“”的
条件.
解析：因为
所以为：必要不充分条件
4、若命题p:“，使方程有实数根”，则“”形式的命题是 。
解析：因为存在性命题的否定形式是全称命题
所以：使方程无实数根
5、函数f(x)=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P){y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=； ②若P∩M≠，则f(P)∩f(M) ≠；
③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R； ④若P∪M≠R，则f(P) ∪f(M)≠R.
其中正确判断有 .(写出所有正确的序号)
[解析]：①②③④错
若P={1}, M={- 1}则f(P)={1},f(M)={1} 则f(P)∩f(M) ≠故①错
若P={1,2}, M={1}则f(P)={1,2},f(M)={1}则f(P)∩f(M) =故②错
若P{非负实数},M={负实数}则f(P)={ 非负实数},f(M)={ 正实数} 则f(P) ∪f(M)≠R.
故③错
若P={非负实数},M={正实数}则f(P)={ 非负实数},f(M)={ 负实数} 则f(P) ∪f(M)=R.
故④错
6、已知，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。
解析l：由，。
所以：由得。所以。因为是的必要不充分条件，所以 即所以所以，故m的取值范围是
解法2：因为是的必要不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件。由得。所以又由得，所以。由已知得所以，解得

7、设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论
解 ∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，
其充要条件是16b2－16>0,
即 b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0, 从而8b<20,
即 b<2 5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=
8、已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠
解 (1)正确 在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上
(2)正确 设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得 2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解
∴A∩B至多有一个元素
(3)不正确 取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠,那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的
专题一 集合、函数与导数
专题一第一讲 集合与常用逻辑用语
二、 考试说明要求
内 容
要 求
1、集合
集合及其表示
A
子集
B
交集、并集、补集
B
2、常用逻辑用语
命题的四种形式
A
必要条件、充分条件、充分必要条件
B
简单的逻辑联结词
A
全称量词与存在量词
A
二、例题
1、（1）已知集合M=｛a2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是
(2) 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________

2、已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.
（1）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；
（2）对任何具有性质的集合，证明：；

3、对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记作A和B.
（1）若，求证：.
（2）若且，求实数a的取值范围。

4、（1）已知命题，命题p的否定为命题q，则q是“ ”；q的真假为 （填真或假）.
（2）设原命题：“若，则a,b 中至少有一个不小于1”.则原命题的逆否命题与其逆命题的真假情况是: 原命题的逆否命题为 ；原命题的逆命题为 .

5、(1)若""和""都是真命题,其逆命题都是假命题，则""是""的 条件。
(2) 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 .

6、设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

三、作业
1、已知全集为集合，则 .
2、设集合若B是非空集合，且则实数a的取值范围是
3、设集合那么“”是“”的
条件.
4、若命题p:“，使方程有实数根”，则“”形式的命题是 .
5、函数f(x)=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=； ②若P∩M≠，则f(P)∩f(M) ≠；
③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R； ④若P∪M≠R，则f(P) ∪f(M)≠R.
其中正确判断有 .(写出所有正确的序号)
6、已知，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。

7、设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论

8、已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠