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《圆的标准方程》教学设计
湖北省荆州中学  郑小勇

一、教材分析
学习了直线的方程之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础 也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、学情分析
学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
三、教学目标
(一)知识与技能目标
（1）会推导圆的标准方程。
（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。
（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。
(二)过程与方法目标
（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。
（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
(三)情感与态度目标
圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
四、重点、难点、疑点及解决办法
1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
2、难点：圆的标准方程的应用。
3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
五、教学过程
首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。
(一)复习提问
在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．
问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
(二)建立圆的标准方程
1．建系设点
由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
这时，请大家思考下面一个问题．
问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
(三)圆的标准方程的应用
学生练习一：
1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；
(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；
(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）
教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________.
（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）
A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25
教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.
指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
例1求满足下列条件各圆的方程：
（1） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程
（2） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。
解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得

因此，所求的圆的方程是

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25
∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6
∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25
这时，教师小结本题：求圆的方程的方法
(1)定义法
(2) 待定系数法，确定a，b，r；
学生练习二：
1、 以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.
教师纠错，分别给出正确答案：(x－3)2+(y+5)2=32。
例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程
解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为 因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是
∵ ∴ (让学生注意斜率不存在时和为0的情况)
经过点M的切线方程是 ，
整理得
因为点在圆上，所以，所求切线方程是
法二：勾股定理
法三：向量
变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。
变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。
学生练习三：
1.已知圆求：
（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.
（2）过点B（-5，2）的切线方程是____________
教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0
(四)本课小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．
4. 数型结合的数学思想
5. 过定点求圆切线方程.
（五）、布置作业 习题7.6 1，2，3
（六）、板书设计
7.6圆的标准方程
一、 建立圆的标准方程
1、 圆的方程的推导
(x-a)2+(y-b)2=r2
2、 圆的标准方程的特点:
圆心（a,b）定位，r定型
二． 圆的标准方程的应用
例1
例2

学生练习
六、教学反思：
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计 所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题 其基本教学模式是：
复习
旧知
以旧
悟新
提出
问题
尝试
探究
例题
示范
探求
方法
反馈
练习
学会
应用
点评
矫正
总结
交流

《圆的标准方程》（课堂实录）

师：让我们来看一下生活中常见的一些事物（通过课件展示生活中的圆），这些都是什么图形？
生：圆。
师：对，圆在我们生活中很常见，也代表着很美的东西，完美无缺，十全十美，都是指的圆，圆是很美的曲线，那么我们今天从另一个角度来研究圆。
(一)复习提问
师：在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
生：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
师：这是高中的概念。（教师在课件上画圆)改变半径大小，和圆心的位置，圆发生了变化，这说明了什么？
生：半径决定大小，圆心决定位置。
师：对：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
生：圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。

师：下面我们用来建立圆的标准方程．（请一位同学板演）
生：因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
由两点间的距离公式得：
将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
师：非常好，有无不同建立坐标系的方法．
生：有，圆心为坐标原点。
师：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，我们主要研究一般情况．请大家思考下面一个问题．圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
生：这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．
师：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．那么下面来做一下练习。
1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；
(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；
(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）
师：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________.
（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）
A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x3)2+(y-4)2= 25
生： (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.
师：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．那么我们再来看一下这一道题
例1求满足下列条件各圆的方程：
（3） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程
（4） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。
师：如果要求一个圆，你要找些生么？
生：圆心和半径。
师：但是（2）中能不能直接找到圆心？
生：不能。
是：那用什么方法呢？
生：待定系数法。
师：非常好，下面同学们自己算一算。
生（板演）：解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得

因此，所求的圆的方程是

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25
∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6
∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25
师：求圆的方程的方法
(1)定义法
(2) 待定系数法，要确定a，b，r；
我们来做做练习。
2、 以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.
生：(x－3)2+(y5)2=32。
师：上一题，我们是知道圆的切线，求圆的方程，那我能不能把原来的结论和条件互换一下，知道圆，秋切线方程？下面我们来看一下例2
例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程
师：该怎么做呢？
生：知道点M,找斜率。
师：还应该注意些什么？
生：斜率不存在时。
师：为了避免这些，我们可不可以用其他的方法来做。
生思考后：勾股定理，向量。
师：（把学生分成三组分别用三种方法做）最后得出：
师：这个点是在圆上，如果是在圆外又该怎么做呢？（提示学生用待定系数法）
变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。
变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。
师：同学们来做一下练习
1.已知圆求：
（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.
（2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________
生：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0
师：我们这节课学习了些什么呢？
生：
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．
4. 数型结合的数学思想
5. 过定点求圆切线方程.

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