1、
抛物线及其标准方程
驻马店高中 周约汉
2.4.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标
（一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程
（二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作
2、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
四、教学过程
1.课题引入
在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：
师：……那么，如果问你怎么样
3、的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）
2.抛物线的定义
实例引入：用折纸法画抛物线
我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
师：对于“直线经过点F”的情况，我们留到习题课再讨论。
3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？
要求抛物线的方程，
4、必须先建立直角坐标系。
探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）
1
2
3
方案（一）
方案（二）
方案（三）
问题：哪种方案的方程更简单呢？
按照方案三的建系方式推导抛物线方程……直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。
1
2
3
注意：1.标准方程必须出来。
2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算
3.强调P的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都
5、满足方程，以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程
（选择标准方程）
师：我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。（演示）
师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者向下，其对应的方程又如何了呢？
（演示下列表格的第一列和第一行）
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。）
对表格
6、的说明：统观四种情况（学生记忆）
（1）表示焦点F到准线的距离；
（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）
（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）
4.例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程。
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程
7、
（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程。
解：（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为。
随堂练习1P67练习1
1 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是
（2）准线方程是
（3）焦点到准线的距离是2
随堂练习2P67练习2
5.课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程有四种不同的形式
3、p的几何意义是: 焦点到准线的距离
4、标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
6.作业布置
（1）必做题 P73 A组1，2，3
（2）选做题 P74 B组1
5
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