1、立体几何中的向量方法
——利用空间向量求空间角
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解二面角的向量方法
教学难点
二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系
教学过程
一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
2、位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：
a
b
O
（2）两向量夹角公式：
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量
二、知识讲解与典例分析
知识点1：异面直线所成的角（范围：）
（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为和，
l
问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b
3、所成
的角与 和 的夹角的关系？
问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角
与 和的夹角的关系？
结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为
思考：在正方体中，若与分别为、
的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？
（1）方法总结：①几何法；②向量法
（2）与相等吗？
（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.
解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式
4、求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系，则
，
即
和所成的角为
练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
知识点2、直线与平面所成的角（范围：）
（图1）
思考：设平面的法向量为，则与的关系？
（图2）
据图分析可得：结论：
例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.
分析：直线与平面所成的角步骤：
1. 求出平
5、面的法向量
2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系，则
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
设平面的法向量为
由
取，
和所成角的正弦值.
练习：正方体的棱长为1，点、分别
为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.
知识点3：二面角（范围：）
D
C
B
A
l
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.
结论：
例3 、 如图，甲站在
6、水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解：如图
根据向量的加法法则,
于是，得
设向量与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.
因此
所以
库底与水坝所成二面角的余弦值是
②法向量法
l
l
结论： 或
归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
例4、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则
易知面的法向量为
设面的法向量为，则有
，取，得，
又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
即所求二面角的余弦值为.
练习：正方体的棱长为1，点、
分别为、的中点.求二面角的余弦值。
三、课堂小结
1．异面直线所成的角：
2．直线和平面所成的角：
3．二面角：.
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