教学案例--中点常见的辅助线(八年级).doc

中点常见的辅助线
中点经常所在的三角形：
全等三角形
等腰三角形：三线合一
直角三角形：斜边上的中线、
三角形的中位线：
一、一个中点常见的辅助线
（1）利用中点构建全等形：
①倍长中线至二倍，构建全等三角形
②中点 + 平行线 = 全等三角形。注意：隐含的平行线：平行四边形，多条垂线）。
(2)有中点联想直角三角形的斜边上的中线
（3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是_____．

2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC， 过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．
3、正方形ABCD中，E为CD的中点，BF⊥AE于F ,连接CF，求证;CF=CB

4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．
5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．
6、已知梯形ABCD中，AD∥BC,且AD+BC=AB,E为CD的中点，连接AE、BE
求证;(1)AE平分∠BAD (2) BE平分∠ABC (3)AE⊥BE

练习：
1、已知正方形ABCD中，E为CD的中点，AE平分∠BAF．求证：AF=BC+CF

6、在△ABC（AB≠AC）中，在∠A的内部任做一条射线，过B、C两点做此射线的垂线BE和CF，交此射线于E、F，M为BC的中点，求证：MD=ME．

等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图所示放置，M为AE的中点，连接DM、BM，（1）求证：BM∥CE
(2)若AB=a，DE=2a，求DM、BM的长。
A
M
E
D
C
B
A

二、两个或多个中点常见的辅助线：
当图中有多个中点时，我们要细致分析图形特点，是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形，有时，要利用中点的性质分析，同时还要考虑中位线，
(一)直接连接中点构建中位线：
1．已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．
①求证：EF与GH互相平分；
②当四边形ABCD的边满足_________条件时，EF⊥GH．

（二）取三角形一边的中点，构建中位线：
2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．
求证：OM=ON．

（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D，
求证：四边形ABCD是平行四边形

四、添加三角形的另一边并取中点，构建中位线：
在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC．
求证：∠EFM=∠FEM．
如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（ ）
A．AB=MN B．AB＞MN C．AB＜MN D．上述三种情况均可能出现
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN=∠F．

五、条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．

11．如图，自△ABC顶点A向∠C与∠B的角平分线CE、BD作垂线AM、AN，垂足分别是M、N，已知△ABC三边长为a、b、c，则MN=_______．

在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=BC

多个中点
中点经常所在的三角形：
等腰三角形：三线合一
直角三角形：斜边上的中线、
三角形的中位线：
已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高．求证：∠EDG=∠EFG．

（2015•广东模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）如图1所示在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，求证：
①AF=AG=AB；
②MD=ME．
（2）在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．（直接写答案，不需要写证明过程）．
（3）在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？

6、△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做正△ABD和△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，
(1)求证：PM=PN
(2)试求∠MPN的度数
A
B
C
D
E
M
N
P

变式一：△ABC中, ∠CAB120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点， 求证：PM=PN
变式二：△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点， 求证：PM=PN
变式三：△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M为BD的中点，N为CE的中点，P为BC的中点， 求证：PM=PN
A
B
C
D
E
M
N
P

2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．

A
F
D
E
O
C
B
1
2
2．如图，点O为△ABC内的一点，OD⊥AB,OE⊥AC,∠1=∠2,F为BC的中点，链接FD、FE，求证：FD=FE．

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N，
求证;(1) △DEM≌△DFN
(2) ∠PAE=∠PBF

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