等比数列(一)教案设计（汪正文）.doc

等比数列(一)教案设计
江苏省丹阳六中 汪正文
教学目标：
⒈掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；
⒉培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：
等比数列的定义及通项公式.
教学难点：
灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来共同回顾一下有关内容：
⑴等差数列定义：文字表述：_______________；
符号表示：an-an-1 =d (n≥2) (递推公式) ；
⑵等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d (n∈N*)
一般推广：an=am+(n-m)d (m>n,m、n∈N*)
⑶公式推倒(过程中所蕴涵的思想和)方法①迭代归纳思想
②叠加法
Ⅱ.讲授新课
问题：观察下列几组数列，说说它们有何共同特点?
⑴1，2，4，8，16，…，263；
⑵5，25，125，625，…；
⑶－，，－，…；
⑷1，1，1，1，…；
T：共同特点：从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数.
S：对，从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数
（和等差数列相比）我们把具备这种特点的数列叫作等比数列.--------正题
T：那么请同学们用自己的语言给等比数列下个定义
⒈等比数列定义：
①文字表述：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. （和等差数列类比）
这个常数叫做等比数列的公比；通常用字母q表示(q≠0)。
②符号表示：(n2, n∈N*) 或( n∈N*)

T：数列①、②、③、④都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－，1与等差数列比较，仅一字之差。
练习：判断下列数列是否是等比数列，若是，试写出公比及通项公式.
⑴1、、、、┈
⑵1、2、4、8、12、16、20┈
⑶、、、、┈
⑷8、8、8、8、8、8、┈
⑸a、a、a、a、a、┈
T：请同学来回答，⑵不是、⑸不一定；公比是：_____；通项公式：______
注：①常数列不一定是GP;(由⑸得出，与AP类比不同)
③{ an }成GP，隐含了an≠0且q≠0；(在AP中公差d可以为0，问q≠0？)
④若q>0时，是同号数列；(通过观察q的正负分析得出，再类比AP)
若q<0时，是正负交替数列；
若q=1时，是非零常数列
T；其实，对于GP数列，只要知道其首项及公比，该数列则可确定。
探索：已知数列{ an }是GP，首项为a1,公比为q，试用a1和q表示an。
法一：由定义式可得：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，
an＝an－1q＝a1qn－1(a1、q≠0)， 迭代归纳思想
法二：由定义式得：
=
=
=
=
=
(n≥2)

an＝a1·qn－1(n≥2) 累积（叠乘法）思想
当n＝1时，左＝a1，右＝a1，等式亦成立。
⒉等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1 (n∈N*)
an＝am·qn－m (m>n,m、n∈N*) 变：
T：在AP中，有an=am+(n-m)d，那在 GP中an、am有怎样的关系呢？
S：an＝am·qn－m，
T：怎样证明？an＝a1·qn－1 ①
am＝a1·qm－1 ②方程思想，两式一比/除（AP数列中，加加减减）
T：类比从函数的观点理解：AP数列 an=an+b是关于n的一次形式，
那GP： an＝a1·qn－1=
注：⑤从函数的观点理解：等比数列an是类指数函数。
问：数列①； ②；
③； ④以上数列哪些是等比数列？
T：下面我们就利用等比数列的相关知识来解决一些简单问题。
⒊题例：
例1．已知数列3，―6，12，－24，…是等比数列，
判断192，200是否是该数列中的项？若是，是第几项？(S板演)

例2．在等比数列{a n}中，已知a3=20， a6=160，求通项公式a n。(S板演)
评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.（2法）
例3．在等比数列{an}中，，，则公比的取值范围是_____.（0，1）
(先提问，在讨论、分析、归纳)从而得出：
注：⑥数列{ an }是GP，若{ an }递增且或且；
若{ an }递减且或且；
课时小结：
①等比数列的定义： ＝q(q≠0，q为常数，n≥2)；
②等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1n≥2)及推导过程.
练习：
课本P481，2，3
⒋一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.
解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q
则：
②÷①得：q＝ ③
③代入①得：a1＝
∴an＝a1·qn－1＝×（）n－1，a2＝a1·q＝×＝8.
答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.
⒌已知{an}是无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为：a1，a2，…，ak，ak+1，…
则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，…，an，…
可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，…
∵＝＝q2(k≥1)
∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2.
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？
解：设数列{an}为：a1，a2，…，an，…
每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，……
可知，此数列为等比数列，其公式为：＝＝q11.
评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.
Ⅴ.课后作业
课本P52习题 1，2，3，4
等比数列(一)
1．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn，那么数列{an}是 （ ）
A.等比数列 B.当p≠0时为等比数列
C.当p≠0，p≠1时为等比数列 D.不可能为等比数列
2．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 （ ）
A. B. C.2 D.3
3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.

4．已知等比数列x，－，y，－，，…，求x，y.

5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.

6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.

等比数列(一)答案
1．D 2．D
3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.
分析：利用等比数列的定义解题.
解：a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1
又a1＝(a－1)·a0＝a－1
∴若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列.
若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得＝a(n≥2)
故数列{an}是等比数列.
4．x＝，y＝
5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.
分析一：先从等比数列入手解决问题.
解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则：
am+1＝amq，am+2＝am+1q (q为公比)
两式相减，得q＝
又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d
同理am+2－am+1＝(p－k)d(d为公差），故q＝＝
∴所求通项公式为an＝a1( )n－1.
分析二：先从等差数列入手解决问题.
解法二：设等差数列为{bn}，公差为d，则

由题设知，bt，bk，bp是等比数列{an}中的连续三项：故q＝＝
利用等比定理，可得
＝＝＝
∴q＝，an＝a1()n－1.
6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.
分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.
解：设此数列的公比为q,由已知得：

由a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得，q3＝q＝a1＝8. a4＝a1q3＝8×＝1.
评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.
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