1、课题：1.1.1正弦定理
课型：新授课
教法：探究法
教学目标：
1.让学生通过求直角三角形中的斜边c发现正弦定理；
2.让学生掌握正弦定理的证明过程；
3.让学生学会正弦定理的基本应用；
4.在正弦定理的发现与迁移中培养学生数学知识在不同数学对象中的迁移能力，通过观察正弦定理特征，总结其作用的过程中，培养学生归纳总结能力，加深对数学内容的理解。
教学重点：正弦定理的探索、证明及其基本应用
教学难点：正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”
教学过程：
一、引入新课，发现定理
从今天开始我们将学习必修5的内容，必修5分为三章内容，第一章：解三角形
2、第二章数列，第三章不等式，今天我们将来研究第一章的内容：解三角形
解三角形解什么？需要知道什么？我们把三角形中的三角及它们的对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
我们肯定对解直角三角形非常熟悉。来看下面的问题
问题1：在直角三角形ABC中，若已知角A与角A的对边a，求斜边c
若已知角B与它的对边b,边c=?
生：
师：如果压住左边的等号，我们会发现右边等式的两边结构形式完全一致，且每个分式的分子与分母反映了边与角极强的对应关系，但总觉有点缺憾，倘使能将边c与角C也加进这种对称性中来，那就完美了，可以吗？
生：可以，因为sinC
3、1,所以
问题2：你能用一句话来表达这个等式吗？
生：在直角三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等
二、推广拓展，探究证明 ：
问题3：那么对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？
先研究锐角三角形
即在锐角三角形中证明 是否成立
学生思考，并遇到问题，无从下手。
师：边角关系放在什么样的三角形中比较好研究?
生：直角三角形
师：那你能否在图中构造直角三角形呢？
生：过C做CD⊥AB,垂足为D
师:出现了几个直角三角形？
生：两个
师：角C还完整吗？
生：不完整了
师：所以我们只能在这两个直角
4、三角形中证明
你认为该如何建立边a，b与角A、B的联系呢？
生1：两个直角三角形有一条公共边CD，可通过公共边CD来建立关系
师：不妨来求一下
生：CD=a sinB=b sinA,变形可得：
师：注意这种变形是在三角形中角不为0 的先决条件下才能进行的，那如何证明后一个等式呢？
生：过A做AE⊥BC,垂足为E,由AE=bsinC=csinB可得：
师：由此可得：在锐角三角形中成立
那对于钝角三角形，同学们请自行证明
生独立完成，且叫同学上黑板分享成果。
师：由此我们得到什么结论呢？
生：任意三角形中都有：
教师板书：
三、理解定理、深化知识
问题4：正弦定理
5、结构上有什么特征，有哪些变形式？（四人一组进行讨论）
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
（学生回答过程中教师追问能否求出其它的边）
教师板书：正弦定理的作用：（1）已知两角一边求解三角形
（2）已知两边一角求解三角形
问题5：你能用正弦定理来说明大边对大角吗？即：a>b能否得出A>B?
生1：a>b sinA>sinB但 sin
6、A>sinB得出A>B似乎有些不对？
师：从函数角度出发，即为函数值越大能否得到自变量越大，只需要说明函数单调递增即可正弦函数是单调增的吗？
生：不是，但在锐角范围内是单调递增的
师：那也就是说当两角都为锐角时是成立的。但倘若一个钝角一个锐角呢？
生:分为两种情况来看，A为钝角，B为锐角时一定成立，但当A为锐角B为钝角时是不成立的
师：在三角形中A为锐角B为钝角还会有sinA>sinB吗？
生：若sinA>sinB,则，故A>,此时，A+B>,与三角形内角和定理不符，故不可能有上述情况出现
师生共同总结：a>b sinA>sinBA>B
教师总结:也就是说正弦定理既能说明边角的
7、等量关系，也能说明边角的不等关系。
四、利用定理、解决例题
例1：在中，已知，，，解三角形。
师生活动：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，b=2，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
变式：在中，已知，，，解三角形。
师：已知两边及其一边的对角解三角形，三角形的个数不唯一，我们需要用大边对大角这一性质来判断解的
8、情况。
五、课堂练习：
1．一个三角形的两个内角分别是和，如果角所对的边长为，那么角所对边的长是
2．在△中，
（１）已知，，，则 ，
（２）已知，，，则 ，
3．在△中，,,,则 ____________
4．在△中，， ，，则=_____________
六、课堂小结、分享收获
回顾本节课的学习，你有什么收获？
七、作业布置：
1、书面作业：P10习题1.1 1、2
2、研究类作业：
1）探究正弦定理的其它证法，自习课上交流
2）在△ABC中，，研究k的几何意义
3）阅读课本第八页的材料“解三角形的进一步讨论”
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
