期末复习数列专题.doc

期末复习-数列专题
一、 等差数列与等比数列
⒈⑴已知为等差数列，，则
⑵已知为等比数列，，则
⑶已知为等比数列，，则=
2. ⑴已知为等差数列的前项和，，则= ；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数= .
⑶已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 .
⒊⑴已知为等差数列的前项和，，则 ；
⑵已知为等差数列的前项和，，则 .
⑶等比数列中从第5项到第10项的和为 .
⑷已知为等比数列前项和，，求
⑸已知为等比数列前项和，，，则 .
⒋⑴已知为等差数列的前项和，.求.
⑵已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是 .
⑶ 设为数列的前项和，，则达到最小值时，的值为
⒌⑴已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数

⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.

⒍设为数列的前项和，，
⑴求常数的值；⑵求证：数列是等差数列.

⒎已知数列和满足：，，，其中为实数，.
⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；
⑵ 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.

二、数列的通项的求法

1、已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式：
⑴ ； ⑵.

★任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：
若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
▲已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式

2、⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.

★⑴已知关系式，可用迭加法；⑵已知关系式，可用迭乘法.
▲已知数列中，，求数列的通项公式.

3已知数列中，，求数列的通项公式.

★递推关系形如“”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.
▲已知数列中，，求数列的通项公式；

三、数列求和
1⑴已知为等比数列的前项和，公比，
则 ；
⑵等差数列中，公差，且，
则 .
★抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.
2、求数列的前项和
.
★ 裂项相消法求和中注意项数及项的处理
▲⑴ 求和：；
⑵求和：.

3、求数列的前项和.

★ 若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.
▲数列中，，则数列的前项和

4. 若数列的通项，求此数列的前项和.

★ 若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法.
▲已知等比数列的前项和为，且
（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求的前项和

5. 设，求： ；

★通过分析对应的通项，可结合等差数列前项和的推导方法——倒序相加求解.
四、数列的单调性与最值
1、已知数列的通项公式，， 的最大值
2、已知数列的通项，数列中的最大项和最小项分别为

3.记数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足，若对任意都有成立，则实数的取值范围为 。
4.已知等差数列，，它的前项和为，则使达到最大值的是 。
5、数列的首项，前n项和Sn与an之间满足
（1）求证：数列{}的通项公式； （2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.

6、已知数列的首项为，前项和为，且点在直线上，为常数，。（1）求数列的通项公式；
（2）当，且是S中的一个最大项，试求的取值范围。

五、数列与几何的综合应用
1.如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.（1）求的值; （2）求数列{}的通项公式。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2. 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（可以不作证明）
（2）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值
范围.

六、数阵
1. 已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是

2、把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1
3 5
7 9 11
－ － － －
－ － － － －
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。

等差数列与等比数列（知识清单）
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起， 的差等于 常数，这个数列叫做等差数列，
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式 ，
⑵前项和公式 或 .
3.等差中项
如果成 数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项 ，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法： （，是常数）是等差数列；
⑵中项法： ()是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴
⑵若，则；
⑶若等差数列的前项和，则、、、是等差数列
⑷当项数为，则；
当项数为，则.
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
6.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起， 等于 常数，这个数列叫做等比数列，
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式： ，
⑵前项和公式：①当时， ②当时， 或 .
3.等比中项
如果成 数列，那么叫做与的等比中项.
即：是与的等比中项，，成等比数列 .
4.等比数列的判定方法
⑴定义法： （，是常数）是等比数列；
⑵中项法： ()是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴；
⑵若，则；
⑶若等比数列的前项和≠0，则、、、是等比数列

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