惠州市2015届高三第一次调研考试(文科数学).doc

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试
数学试题(文科）
（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为锥体的高．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）
A. B. C. D.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.命题“”的逆否命题是（ ）
A. B.若，则
C.若或，则 D.若或则
5．若向量则
A. B. C. D.
6．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：

那么方程的一个最接近的近似根为（ ）
A． B． C． D．

7．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．

（7题） （8题）
8．函数的部分图象如图所示，则的值分别是 （ ）
A． B. C. D.
9．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
（一）必做题（11～13题）
4
3
2
3
3
正视图

侧视图
俯视图
11. 计算 ．
12．变量、满足线性约束条件，
则目标函数的最大值为 .
13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，
是圆的切线，切点为，平行于弦，
若，，则 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）设函数
（1）求函数的值域和函数的单调递增区间;
（2）当,且时,求的值.
17．(本题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50

（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.
18．（本小题满分14分）
如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，
面,．
（1）求证:.
（2）若
19．（本小题满分14分）
已知等差数列的首项公差且分别是等比数列的
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列对任意正整数均有成立，求的值.
20.（本题满分14分）
已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试
数学试题(文科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
D
B
C
B
A
B
C
1. 【解析】化简得，则虚部为，故选
2．C【解析】，，所以,故选C.
3．【解析】根据奇函数的定义可知A正确。
4．【解析】由逆否命题的变换可知，命题“若，则” 的逆否命题是“若或，则”，故选D.
5．【解析】
6．【解析】因为，，由零点存在定理知，最接近的近似根为.
7．【解析】程序执行过程中，的值依次为；；；
；；；
，输出的值为16.
8．【解析】由图知在时取到最大值且最小正周期满足
故，
.所以
或由逐个检验知
9．【解析】试题分析：双曲线的离心率，所以，其渐近线的方程为，其斜率为，故选B.
10.【解析】　由偶函数定义可得是偶函数，故，原不等式等价于，又根据偶函数定义，，函数在单调递增，，．或利用图象求范围．选C.

11. 2 12. 13. 24 14. 15. 4
11. 【解析】
3
2
4
3
第6题图
12. 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，联立得，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.
13．【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个
小三棱锥得到的，如图

14．【解析】圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.
15．【解析】由于，，而，因此，
，，，，，，，故，由于切圆于点，易知，由勾股定理可得，因此.
16．解：依题意 ………2分
（1） 函数的值域是； ………4分
令，解得 ………7分
所以函数的单调增区间为. ………8分
（2）由得,
因为所以得, ………10分
………12分
17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为
∴男生应该抽取人 …………………………４分
（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记；男生4人为， 则从6名学生任取2名的所有情况为:、、、、、、、、、、、、、、共15种情况，……………………8分
其中恰有1名女生情况有：、、、、、、、，共8种情况， …………………………10分
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为. …………………12分

18．证明：（1）由是菱形

………………………………3分
由是矩形

……………6分
（2）连接，
由是菱形，
由面,

，……………………………………………10分
则为四棱锥的高
由是菱形，，则为等边三角形，
由；则，，
………………………………………14分
19.解：（1）∵，且成等比数列，
∴，即， ……………2分
∴ ……………………4分
又∵∴………………6分
（2）∵， ①
∴，即，又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，………………………………11分
则
………………14分
20.解：因为直线的方程为，令，得，即 ……1分
∴ ，又∵，∴ ，
∴ 椭圆的方程为.………………………………………４分
（2）存在点P，满足
∵ 圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得的弦长为，
∴由垂径定理得，
故圆的方程为.………………………………８分
设圆上存在点，满足即，
且的坐标为，
则， 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。
∴ ………………………………………１２分
故有，即圆与圆相交，有两个公共点。
∴圆上存在两个不同点，满足.………………………１４分
21.解：（1）当时，
……6分
（2）因为
所以 ，
令……………………8分
（i）当a=0时，
所以当时g(x)>0, 此时函数单调递减，
x∈（1 ，∞）时，g(x)<0,此时函数f,(x)单调递增。
（ii）当时，由，解得：……………………10分
①若,函数f(x)在上单调递减，……………………11分
②若，在单调递减，在上单调递增.
③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)时，g(x)>0,此时,函数f(x)单调递减；
x∈（1 ，∞）时，g(x)<0 ,,此时函数单调递增。
综上所述：
当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;
函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增
当时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当时，函数f(x)在上单调递减；
函数 f(x)在上单调递增；………14分

11