2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷(含答案).docx

2017—2018学年度第一学期半期考试
高二理科数学试卷
（答题时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个正确选项，请将正确选项填到答题卡处
1．下列语句中，是命题的个数是
①|x＋2|=0； ②－5∈Z； ③π∉R； ④{0}∈N.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设P是椭圆上的一点， F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
A．4 B．5 C．8 D．10
3．现要完成下列3项抽样调查：

①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；
②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.
③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
较为合理的抽样方法是
A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是A⊆B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，
则输入的n为
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则
点P到四个顶点的距离均大于2的概率是
A. B.
C. 1－ D.
7．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为
A. B. C. D.
9．椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为
A. 4 B. C. D.
10．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
11．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2＋y2＝2(x≠±2)
12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13．已知椭圆的焦距为4，
则k的值为 ．
14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，
则p为 ．
15．执行如图所示的程序框图，则输出的
结果是 ．
16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，
则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率
为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.

18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

汽车A
汽车B
汽车C
豪华型
100
200
x
标准型
300
400
600
按A、B、C三类用分层抽样的方法在这个月生产的小汽车中抽取50辆，其中A类小汽车抽取10辆.
(1)求x的值；
(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；

19．(满分10分) 已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

20．(满分12分)已知椭圆C的两条对称轴分别为x轴和y轴,左焦点为F1(－1,0)，右焦点为F2，短轴的两个端点分别为B1、B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且 ，求直线l的方程．

21．(满分12分)命题：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)是真命题；
(2)为真命题且为假命题．

22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点到两点(0，－)、(0，)的距离之和为4，设点的轨迹为C.
(1)求的轨迹C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少？

高二半期考试理科数学参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
A
C
C
C
B
B
D
C
C
二、 选择题
13、16或24 14、
15、9 16、
三、 解答题
17、解：设标号为2的球的个数为n,由题意可知：，解得n＝2,
不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以＝＝.

18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n辆，由题意得，
解得n＝2000.
则x＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆豪华型小汽车，
由题意得，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.
用A1，A2表示2辆豪华型小汽车，用B1，B2，B3表示3辆标准型小汽车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，
则所有的基本事件10个，列举如下：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
事件E包含的基本事件有： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，
(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共9个.
故即所求概率为.
19、解：设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0，而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为.

20、解：(1)设椭圆C的方程为．
根据题意知，解得a2＝，b2＝，故椭圆C的方程为.
(2)容易求得椭圆C的方程为.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)
因为·＝0，即
(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
，解得k2＝，即k＝±.
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

21、解：命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜ .
(1) ∵是真命题，∴和都是真命题，a的取值范围也即上面两个范围的交集，
∴a的取值范围是{a|a＜－1或a＞1}．
(2) 为真命题且为假命题，有两种情况：
真假时，＜a≤1，假真时，－1≤a＜，
∴、中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．

22、解 (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b＝，
故曲线C的方程为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足，
消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.又∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2.
又x1x2＋y1y2＝0，∴k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.
|AB|＝，
而 (x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝，
∴|AB|＝＝.

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