2018届河南省开封市高三上学期定位考试(10月)-数学(理).doc

2018届河南省开封市高三上学期定位考试（10月）
数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则 （ ）
A. B. C. D. （0,1）
2.复数，则 ( )
A. z的共轭复数为 B. z的实部为1 C. D. z的虚部为
3．下列选项中，说法正确的个数是( )
(1)若命题:，，则：”；
(2)命题“在中，，则”的逆否命题为真命题；
(3)设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件；
(4)若统计数据的方差为1,则的方差为2.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．5 B． C．2 D．-2
6.已知实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C. 32 D．64
7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中“ ”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为675,125，则输出的（ ）
A. 0 B. 25 C. 50 D. 75
8.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（　　）
A．6              B．12              C．18              D．19
9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
10.如果存在正整数ω和实数使得函数的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B. C. D.
12.函数，函数，总存在唯一，使得成立，则实数的取值范围为 （ ）
A． B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知平面向量，，，，，，若，则实数 ．
14.在平面区域Ω={（x，y）|≤x≤，0≤y≤1}内任取一点P，则点P落在曲线y=cosx下方的概率是 ．
15. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为__________．
16.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球的表面积为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知数列满足,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和.
18. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥D-ABC中，AB=2AC=2，AD=，CD=3，平面ADC⊥平面ABC.
（Ⅰ）证明：平面BDC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的余弦值.

19. （本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，…，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

5
6
7
8

0.4

0.1
且的数学期望，求，的值；
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线所得弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求的最大值．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极小值；
（Ⅱ）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围.
22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为: ，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程和交点坐标(非坐标原点)；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为(非坐标原点),求△OAB的最大面积(O为坐标原点) .
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣m|，m＜0．
（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f（x）+f（-x）≥2-x；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）<1的解集非空，求m的取值范围．

高三数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3

4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
D
C
B
D
D
B
D
B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. -8 14. 15. 7 16. 7
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由已知可得，
∴数列是以1为首项，为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分
∴. ．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）， ．．．．．．．．．．．．8分 ．．．．．．．．．．．．10分 ．．．．．．．．．．．．12分
18.解：（Ⅰ）由已知可得BC=，∴BC⊥AC， ．．．．．．．．．．．．2分
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面ADC，．．．．．．．．．4分
又∵BC平面BDC，∴平面BDC⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
∵平面ADC⊥平面ABC，过D作的延长线于，∴，
由余弦定理可得，∴，
∴，，
C（0,0,0），A（1,0,0），B（0, ，0），D（2,0，），
∵BC⊥平面ADC，∴为平面ADC的法向量，．．．．．．．．．．．．7分
设为平面ADB的一个法向量，，
∴，可取，．．．．．．．．．．．．9分
，∴二面角B-AD-C的余弦值为. ．．．．．．12分
19.解：（Ⅰ）；．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，
可得等级系数的概率分布列如下：

．．．．．．．．．．．．4分
∴，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于；．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为，．．．．8分
∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为，．．10分
据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分
20.解：（Ⅰ）由题意得，又∵，∴.
∴椭圆E的方程为． 4分
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，
由△OAB面积，可得； 5分
(2)当l的斜率存在时，设直线l：，
联立方程组消去y，得，
由得，
则，，（*） 6分
，
原点O到直线l的距离，
所以△OAB的面积，
整理得，即
所以，即，满足， 8分
结合（*）得，，
则C，所以，
，
10分
所以，
当且仅当，即m＝±1时，等号成立，故，
综上的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分
21.解：（Ⅰ）．
∵当时，，在上是增函数，
∵当时，，在上也是增函数，
∴当或，总有在上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分
又，所以的解集为，的解集为，
故函数的单调增区间为，单调减区间为，
∴函数在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）∵存在，使得成立，
而当时，，
∴只要即可． ．．．．．．．．．．．．5分
又∵的变化情况如下表所示：

减函数
极小值
增函数
∴在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值 ．．．．．．．．．7分
∵，
令，因为，
∴在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即． ．．．．．．．．．．．．9分
∴当时，，即，
函数在上是增函数，解得；
当时，，即，
函数在上是减函数，解得． ．．．．．．．．．．．．11分综上可知，所求的取值范． ．．．．．．．．．．．12分22.解：（Ⅰ）: ；： ；交点坐标.（写出直角坐标同样给分） ……………5分
（Ⅱ）
=
故△OAB的最大面积是 ……………10分
23. 解：（Ⅰ）设
可解得 ……………5分
（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x﹣m|+|2x﹣m|，m＜0．
当x≤m时，f（x）=m﹣x+m﹣2x=2m﹣3x，则f（x）≥﹣m；
当m＜x＜时，f（x）=x﹣m+m﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣m；
当x 时，f（x）=x﹣m+2x﹣m=3x﹣2m，则f（x）≥-．
则f（x）的值域为[-，+∞），
不等式f（x）+f（2x）<1的解集非空，即为1＞-，解得，m＞-2，
由于m＜0，则m的取值范围是（-2，0）． ……………10分

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