惠州市2018届高三第二次调研考试(文数).doc

惠州市2018届高三第二次调研考试
数学（文科）
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则（　　）
(A) (B) (C) (D)
3．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的
离心率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
5．若，，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
6．已知，且，则 （　　）
(A) (B) (C) (D)
7．某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（℃）之间的关系，随机统计
了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温
约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．
(A) (B) (C) (D)
8．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，
且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为（　　）
(A) (B) (C) (D)
9．已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
10．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，
则的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到
的图象，若，且，则的最大值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
12．已知函数，若函数的图象上关于原点对称的点有对，
则实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数，，则 ．
14．已知实数、满足，则的最小值是 ．
15．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又
朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我
们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，
则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤

000
0
震

001
1
坎

010
2
兑

011
3

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是 ．
16．数列的前项和为，若，则数列的前项和为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（本小题满分12分）
中，是边的中点，,,.
（1）求边的长；
（2）求的面积.

18．（本小题满分12分）
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷
调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．

常喝
不常喝
合计
肥胖

2

不肥胖

18

合计

30
已知在全部人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的
学生中随机抽取2人参加一个电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

参考数据：

0．100
0．050
0．025
0．010
0．005
0．001

2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828

, 其中为样本容量．
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，是等边三角形，
是等腰直角三角形，，平面
平面，平面，点为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）求函数的单调区间．

21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，
设，.
（1）求证：为定值；
（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，
求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）[选修4―4：坐标系与参数方程]
已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、
右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线的极坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，
求的值．

23．（本小题满分10分）[选修4―5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，
求实数的取值范围.
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
D
A
A
B
C
D
B
D

1．【解析】由题意,故选C.
2．【解析】，则，故选C.
3．【解析】由等差数列可知，得，所以，故选B .
4．【解析】双曲线的渐近线，得，又，得到
所以，，故选A .
5．【解析】依题意，，，而由得，故选D .
6．【解析】由，得，且，
所以，，又，故选A .
7．【解析】计算得，回归直线过点，且，代入得，则回归方程为
，则时，故选A .
8．【解析】还原几何体为一个三棱锥，放入棱长为1的正方体中，如图所示，
外接球的半径为，则，故选B .
9．【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，
G
C
O
y
x
B
A
得重心,则向量，，
所以，故选C .
（也可以，由向量数量积的定义计算得出）
y
x
O
F2
F1
P
M
10．【解析】如图，设线段的中点在轴上，点是的中点，
所以，可得轴，，
，，故选D .
11．【解析】由题意可得，，所以，又，所以
，由，得，因为
O
y
x
，所以，故选B .
12．【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数
关于原点对称的函数
的图象，使得它与直线的交点个数为2即可，
当直线与的图象相切时，设切点为，
又的导数为，则，解得，可得切线的斜率为1，结合图象可知时函数与直线有两个交点，即原函数图象上有两个点关于原点对称，故选D

二、填空题：（每小题5分，共20分）
13． 14. 15. 16.
13【解析】由已知得，即，所以
， 也可得出.
14【解析】画出可行域平移直线可知在点取得最小值，代入目标函数得.
15【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，
转化为十进制数的计算为.
16【解析】当时，得，当时，得
，则数列为等比数列，公比为，，得，由错位相减法求和得.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.解：（1）设，则，由余弦定理，
在△中，有 ………………2分
在△中，有 ………………4分
且，即，得 …………………6分
∴ …………………7分
（2） 由（1）可知，，，得 ………………9分
A
B
C
D
∴ ………………12分

18．解：（1）设全部30人中的肥胖学生共名，则，
∴ 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名． ……………………2分
列联表如下：

常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
合计
10
20
30
……………………4分
（2）∵， ……………………6分
又 ……………………7分
∴有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……………………8分
（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为，2名女生为，则从中随机抽取2名的情形
有；；；共15种， ……………10分
其中一名男生一名女生的情形共有8种， ……………………11分
∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为． ……………………12分

19.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，
，点为的中点，∴．
∵ 平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面． …………4分
∵ 平面,∴ ∥． …………5分
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面． …………6分
（2）法1：由1）知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分
∵ ，△是等边三角形,点为的中点
∴ …………8分
∴ …………10分
…………12分
法2：由（1）知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分
过作，垂足为点，
∵ 平面,平面, ∴ ．
∵ 平面,平面,，
∴ 平面． …………9分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，． …………10分
∴ ．
∴ 三棱锥的体积为． …………12分

20. 解: (1)由可知，函数定义域为，
且，依题意，
解得 ……………………………………… 4分

（2）依题意，
令，得
① 当时，，由，得；由，得
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ……… 6分
② 当，即时，由，得或
由，得
则函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为 ………………… 8分
③ 当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为
……………………………………… 10分
④ 当，即时，由，得或，由，得
则函数的单调递增区间为，
函数的单调递增区间为 ………………… 12分
21、解：（Ⅰ解法1）当直线AB垂直于x轴时，,
因此(定值) ……………………2分
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为
由得
因此有为定值 …………………… 4分
（解法2）设直线AB的方程为
由得
因此有为定值 ……………………（4分）
(Ⅱ)设存在直线：满足条件，则
AC的中点，
因此以AC为直径的圆的半径
E点到直线的距离 ……………………7分
所以所截弦长为
……………………10分
当即时，弦长为定值2，这时直线方程为 …………………… 12分

22.解：（1）曲线C：可化为，
其轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）． ……………………2分
经过A（0，）和F2（1，0）的直线方程为，即
∴ 直线的极坐标方程为：. ……………………5分
（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，
因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，
所以的参数方程为（t为参数），
代入椭圆C的方程中，得． ……………………8分
因为M，N在点F1的两侧，
所以|MF1|﹣|NF1|=|t1+t2|=． ……………………10分

23.【解析】
解：（1）当时，， ……………………3分
由得不等式的解集为. ……………………5分
（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，
因为，在处取得最大值，………8分
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，
只需，即. ……………10分

12