汕头市潮师高级中学2018届高三上学期期中考试(理数).doc

汕头市潮师高级中学2018届高三上学期期中考试
数学（理科）
（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）
注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（每小题5分，总50分）
1．已知集合，，则（ ）
． ． ． ．
2．已知命题P是：“对任意的，”，那么是 （ ）
A．不存在， B．存在，
C．存在， D．对任意的，
3.是 ）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
4．设则“且”是“”的( )
A．充分而不必要条件　　　　 　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件
5若，则的定义域为( )
A. B. C. D.
6. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,)
的部分图象如图所示，则f(0)的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知，则的值等于 ( )
A． B． C． D．
9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在函数的图象上，其中，则的最小值为（　　）
A．1 B．4 C． D．2
10. , 若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)

二、填空题（每小题5分，总20分,其中14、15题为选做题）
11.已知函数, 则= _____________.
12. 的值等于________.
13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体
的体积是
14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为_ _．
P
A
B
O
C
15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，
直线交圆于两点，,，则圆
的面积为 ．
三、解答题（共80分）
16.（本小题满分12分）已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值；
（3）若，求的值

17．（本小题满分12分）
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
（2）若第一次随机抽1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率．

18.（14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

19．(本小题满分14分) 已知函数f(x) =x2—lnx.
(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调递减区间：
(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (O，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值.
(e是为自然对数的底数）

20．(本小题满分14分)在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月生产台某种产品的收入为元，成本为元，且，，现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入－成本）
（1）求利润函数以及它的边际利润函数；
（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。

21. (本小题满分14分)设函数.
（1）若函数在处与直线相切，
①求实数，的值；
②求函数在上的最大值；
（2）当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、 选择题：
DCCAC CDDBC
二、 填空题
11. 12 12. 13. 14. 15．
16．

17．解：（1）设表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，
任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、34），共4种………………………………………………………………2分
其中数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
共3种…………………………………………………………………………………4分
所以. ………………………………………………………………………6分
（2）设表示事件“至少一次抽到2”，
每次抽1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个.………8分
事件包含的结果有（1、2）（2、1）2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个………10分
所以所求事件的概率为. ………………………………………………12分
18. 证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD …………1分
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴ABCD ∴FGAE ∴四边形AEGF是平行四边形 ∴AF∥EG ………3分
又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面PCE …………6分
（2）∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP ∴CD⊥AF …………8分
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD …………11分
∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD …………12分
又EG平面PCE ∴平面PCE⊥平面PCD …………14分
19.

20

21. 解：（1）①
∵函数在处与直线相切解得 ………3分
②
当时，令得；
令，得上单调递增，在[1，e]上单调递减，
…………8分

8