(word版)郑州市2021年高三上学期第一次质量检测理科数学试题.docx

郑州市 2021 年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
{ }
= x x < 2 , B ={-2,-1,0,1, 2}
Ç =
，则 A B （ ）
1. 已知集合 A
{ }
-1,0
{ }
0,1
{ }
-1,0,1
= {-2,-1,0,1, 2}
D． B
A．
B．
C．
z +1
= i
=
，则 z （ ）
2. 设复数 满足
z
z -1
-i
C．1
2
D．
A．i
B．
( )
: y = 2px p > 0
C
Р
2
Р
9, y
上一点，点 到 的焦点的距离为 到 轴的距离为 则 （ ）
6, p =
3.已知 为抛物线C
A．3
B．6
C．9
- =1
D．12
,b
+ 2 =
，则 a b （ ）
4. 设 a 为单位向量，且 a b
A．3
B．
3
C．7
7
D．
90
5.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 后从事互联
网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（ ）
90
注: 后指
1990
80
年及以后出生， 后指
1980-1989
年之间出生， 前指
1979年及以前出生.
80
① 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
②
③
④
90
80
互联网行业中从事运营岗位的人数 后比 前多

90
80
互联网行业中从事技术岗位的人数 后比 后多
A．①②③
B．①②④
D．②③④
C．①③④
6. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷
雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5
尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为（ ）
2.5
B．3.5
4.5
C．
D．5.5
A．
2 x
x+1
3
=
7.函数 y
的图像大致为（ ）
4 +1
x
A．
B．
C．
D．
æ
ö
y ( )
2

-
x + y
的展开式中， x
8.式子ç x
5
y3 的系数为（ ）
÷
3
è
x ø
A．3
B．5
C．15
20
D．
4
9. 若直线l与曲线 y
= - x
和圆 2
x + y =
都相切，则l 的方程为（ ）
2
9
- 2 2y + 2 = 0
- 2 2y - 2 = 0
x + 2 2y + 2 = 0
x + 2 2y - 2 = 0
A． x
B．
D．
C． x
a
+b =1，则下列选项错误的是（ ）
> 0,b > 0
10. 已知a
，且

1
2
1
2
+ b ³
2 ³
A． a2
B．
D．
2
a-b
+ log b ³ -2
a + b £
2
C．log a
2
2
( )
( )
M x , f x ，
( )
= f x
( )
y = g x
( )
f x = g(-x )
11.对于函数 y
与
，若存在 ，使
x
，则称
0
0
0
0
0
(
)
( )
( )
( )
lnx
x
( )
( )
N -x , g -x 是函数 f x 与图像 g x 的一对“隐对称点” .已知函数 f x
= k(x +1), g x =
，
0
0

( ) ( )
函数 f x 与 g x 的图像恰好存在两对“隐对称点”，则实数 的取值范围为（ ）
k
( )
( )
-1,0
-¥,-1
A．
C．
B．
D．
( ) ( )
0,1 È 1,+¥
( ) ( )
-¥,-1 È -1,0
x2 y (
)
2
- =1 a > 0,b > 0
12.设点 A, B 分别为双曲线C :
的左右焦点，点 M , N 分别在双曲线C 的左、右支
a b2
2
= 5AM , MB = MN × MB
<
，且 MB NB , 则双曲线C 的离心率为（ ）
上，若 MN
65
85
13
5
17
7
A．
B．
C．
D．
5
5
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
ìx + y - 2 ³ 0,
ï
- y - 2 £ 0,
= +
，则目标函数 z x 2y 的最小值为
13.设变量 x, y 满足约束条件íx
．
ï
y ³ 2,
î
( )
14.已知 f x
( )
f x
= (x + 2x + a)e
，若
存在极小值，则a 的取值范围是
．
2
x
{ }
= 2,a = a ×a
+
+¼+
= -
215 2 ，则
15.数列 a 中， a
，若a
a
a
5
1
m
+n
m
n
k +2
k +3
k +11
n
k =
．
16.已知 A- BCD
О
是球 的内接三被锥， AB
О
则球 的表面积
= AC = BC = BD = CD = 6, AD = 9,
为
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
DABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b
.
= 5, c = 2, ÐB = 45°
17. 在

( )
1 求边 BC 的长﹔
( )
4
cosÐADB = ，求 sin
ÐDAC
2 在边 BC 上取一点 D ，使得
的值.
5
18. 如图，四面体ABCD中， ABC是正三角形，DACD是直角三角形，ÐABD = ÐCBD
=
，AB BD .
( )
1 证明:平面 ACD ^ 平面 ABC；
( )
2 若 EB = 2DE ，求二面角 D - AE -C 的余弦值.
x2 y (
a b
2
)
2
( )
，且过点 A 2,1 .
2
+ =1 a > b > 0
19. 已知椭圆C :
的离心率为
2
2
( )
1 求C 的方程；
( )
2 点 M , N 在C 上，且 AM ^ AN 证明:直线 MN 过定点.
( )
= x×e - aln x -ax
20. 已知函数 f x
x
.
( )
( )
1 若 a = e ，讨论 f x 的单调性﹔
( )
( )
2 若对任意 x > 0恒有不等式 f x ³1成立，求实数a 的值.
21. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源
匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2 人有支
教经验，3人没有支教经验.
( )
1 求5名优秀教师中的“甲”
3
，在这 批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔
( )
2 求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；
( )
3 现在需要 名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教
2
、B
师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有 A
两个教师可派，他们各自完成任务的概率
、p ，假设1 > p > p
分别为 p
，且假定各人能否完成任务
1
2
1
2

的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为q ,q ，其中q ,q 是
1
1
2
2
p、p 的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.
1
2
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如
果多做，则按所做的第一题计分.
ìx = cosq
22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为í
（q 为参数），以坐标原点O为极点， 轴正
x
=1+ sinq
îy
p
æ
ö
r
半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 sin
q
+
= 3
.
l
ç
÷
è
3 ø
( )
1 求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
p
( )
q
=
，若射线OP 与曲线C 的交点为 (异于点O)，与直线l 的交点为 B, 求
A
2 射线OP 的极坐标方程为
6
线段
的长.
AB
( )
，函数 f x
1
> b > 0
= +
23．已知a
x
( )
b a -b
( )
1 若 a
1
( )
=1,b =
>
，求不等式 f x 2的解集﹔
2
( )
( )
2 求证： f x + x - a ³ 4 .
2
郑州市 2021 年高三数学一测理科评分参考
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

答案
C
C
B
D
A
D
D
B
A
C
D
B
二、填空题
( )
-¥,2
14.
13.
4
15.3
16.84p
三、解答题
( )
在
DABC中，因为b
= 5, c = 2, ÐB = 45
17. 解:
1
= a + c - 2accosB
由余弦定理b2
，
2
2
2
= 2 + a - 2´ 2 ´ a´
得5
2
2
- 2a - 3 = 0,a = 3,
= -
或 a 1（舍）
所以 a2
所以 BC
( )
= 3.
b
c
2 在 DABC中，由正弦定理
=
sin B sin C
，
5
2
=
sin 45 sin C
得
.
5
=
所以sin C
5
4
DADC
Ð
中，因为cos ADC
= -
在
，
5
所以ÐADC为钝角.
ÐADC + ÐC + ÐCAD = 180°,
而
所以ÐC
为锐角
2 5
5
= 1- sin C =
故cosC
2
4
因为cosÐADC = -

，
5
3
ÐADC = 1- cos ÐADC =
所以 sin
2
5
(
)
sinÐDAC = sin 180°-Ð ADC-ÐC = sin(ÐADC+ÐC) ，
= sinÐADCcosÐC + cosÐADCsinÐC,

3 2 5 4
= ´ - ´
5 5
5 2 5
=
5
5
25
( )
18. 1 证明:如图所示，取 AC 的中点O,连接 BO,OD .
DABC
是等边三角形，
\OB ^ AC,
DABD D
与 CBD中，
AB = BD = BC,ÐABD = ÐCBD,
\DABD @ DCBD,
\ AD = CD
DACD是直角三角形，
\AC
是斜边
，
\ÐADC = 90°,
1
\DO = AC
2
\DO + BO = AB = BD
2
2
2
2
\ÐBOD = 90°,
\OB ^ OD
Ç AC = O,
又 DO
\OB ^
ACD
平面
.
又OB 平面 ABC,
Ì
^
\ 平面 ACD 平面
ABC.
的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．
( )
2 由题知，点 是
E BD

= 2,
不妨取 AB
( )
则O(0,0,0 ), A 1,0,0 ,C(
3 2
) .
3 3
-1,0,0 ),D（0,01,)
， B(0, 3,0 ), E(0,
æ
ç
è
ö
( )
3 2
(
)
AD = -1,0,1 , AE = ç -1, , ÷, AC = -2,0,0
÷
3 3
ø
(
)
，
= x , y , z
设平面
的法向量为m
ADE
1
1
1
ì
× AD = 0
× AE = 0
ïm
则 í
ïm
î
ì-x + z = 0
ï
1
1
即 í
3
2
-x +
y + z = 0
ï
î
3
3
1
1
1
= (3, 3,3 )
取 m
．
æ
ö
3
= 0,1,-
同理可得:平面 ACE 的法向量为m ç
÷ .
ç
÷
2
è
ø
m×n
1
7
\cos m,n =
= -
m n
1
7
D - AE -C 的余弦值为
\ 二面角
( )
c
2 4 1
=
,
2 a b2
+ =
= +
1, a b c
19. 1 解:由题意可知
2
2
2
a
2
= 6,b = 3
解得 a2
，
2
x2
y
2
+ =1
所以椭圆方程为
.
6 3
( )
( ) ( )
2 证明:设点 M x , y , N x , y ，
1
1
2
2

^ AN,
因为 AM
y -1 y -1
×
= -1
所以
1
2
x -1 x -1
1
2
( )
( )
- y + y +1= -x x + 2 x + x -4,①
所以 y y
1 2
1
2
1 2
1
2
= kx + m,
当 存在的情况下，设MN : y
k
ìy = kx + m
联立 í
+ 2y = 6
îx2
2
( )
+ 2k x + 4kmx + 2m - 6 = 0
得 1
，
2
2
2
D > 0,
由
- m 3 > 0
得6k
，
2
2
4km
2m - 6
2
+ x = -
, x x =
1 2
由根与系数的关系得 x
，
1+ 2k
1+ 2k
1
2
2
2
m - 6k
( )
2m
( ) ( )
+ + + + =
y y k x x km x x m
2
2
2
+ y = k x + x + 2m =
,
=
所以 y
2
1+ 2k
1+ 2k
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
( )( )
+ =
代入①
+
+ -
式化简可得4k 8km m 1 3m 1 0，
2
(
即 2k
)(
)
+ m-1 2k +3m+1 = 0
，
2k +1
=1- 2k
= -
或 m
所以 m
3
2k +1
= kx +1- 2k y = kx -
或
所以直线方程为 y
3
( ) æ 2 1 ö
所以直线过定点 2,1 或 ,
-
，
ç
÷
è 3 3 ø
( )
又因为 2,1 和 点重合，
A
故舍去
æ 2 1 ö
-
所以直线过定点 E ,
.
ç
÷
è 3 3 ø
( ) ( )
20.解: 1 f x
= xe -alnx-ax, x > 0
，
x
æ 1 ö
æ
a ö
( )
则 f x (x 1)e a
( )
¢
= +
-
+ = + -
x 1 e
1
.
ç
÷
ç
÷
x
x
è x ø
è
x ø

( )
¢ < 0
f x
= e
x ；
0 < <1
当 a
时，令
，得
( )
¢ > 0
，得 x
>1；
令 f x
( ) ( )
Î 0,1
f x
综上，当 x
时，
单调递减；
( )
f x 单调递增.
Î(1,+¥)
当 x
时，
( )
2 ① a < 0
当
( )
f x
( )
单调递增， f x 的值域为 ，不符合题意；
时，
R
1
1
æ ö
1
= 0
f
= e <1
当 a
当 a
时，则 ç ÷
，也不符合题意.
2
2
è ø
2
( )
( )
> 0时，由
1
可知，
f x = a - alna
min
，
故只需 a
-alna ³1.
1
³ -1
，上式即转化为lnt t ，
=
令t
a
设 h t
( )= lnt -t +1，
1-t
( )
¢ =
则 h t
，
t
( ) ( )
0,1
因此 h t 在
上单调递增，在(1,+¥)
上单调递减，
( ) ( )
= h 1 = 0
从而 h x
，
max
所以lnt
£ t -1.
因此，lnt
= t -1® t =1，
1
从而有
a
= t =1® a =1.
故满足条件的实数为a
=1.
2
名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为 ，
( )
1 5
21.
5
2 3
æ ö
54
2
= C
=
则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率Р为 P
1
3
ç ÷
5 5
125
è ø
( )
2
第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.
w
w
设 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数， 可能的取值有
0,1,2
3
，
( ) C 1 ( )
6 ( )
, w 2
P = =
C C
1
C
2
2
1
3
2
3
w 0
= =
P = =
, w 1
=
=
=
则有: P
2
C 10
C
10
C 10
2
2
2
5
5
5

设x 表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2 ，则有:
( ) C C C C C C C
37
2
2
1
1
2
2
2
x
P = 0 =
× +
× + ×
=
C C C C 100
,
2
C C
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
( ) C C C C C C C C C C
54
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
x
P =1 =
×
C C
+
×
+ ×
=
,
2
2
3
2
C2
3
2
C2
3
3
C C
4
1
100
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
( ) C C C C C C
9
2
2
1
1
2
2
P x = 2 =
× +
× + ×0 =
,
2
C C
3
2
3
3
C C C
3
100
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
( ) ( ) ( )
x
x
x
=1 > P = 0 > P = 2
因为 P
，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 人.
1
( )
3 按照先 A后 B 的顺序所需人数期望最小.
① X
设 表示先 A后 B 完成任务所需人员数目，则
X
P
1
2
( )
-
1 P P
P
1
1
1
( )
( )
E X = P + 2 1- P = 2- P
1

1
1
①设Y 表示 B 先后 A完成任务所需人员数目，则
X
P
1
2
( )
1 P P
-
P
2
2
2
( )
( ) ( )
E Y = P + 2(1- P ) = 2- P ,E Y - E X = P - P > 0.
2
2
2
1
2
故按照先 A后 B 的顺序所需人数期望最小.
ìx = cosq
( )
q
q
2
+ (y -1) = cos + sin =1
22.解 1 由í
可得 x2
，
2
2
=1+ sinq
îy
( )
+ y -1 =1
，
所以曲线C 的普通方程为 x2
2
p
æ
ç
è
ö
r
由 sin
q
+
= 3,
÷
4 ø
3
1
r q
sin
r q
cos - 3 = 0
+
所以
，
2
2
+ 3y - 2 3 = 0
所以直线l 的直角坐标方程为 x
.

( )
+ y - 2y = 0
2 曲线C 的方程可化为 x2
，
2
r
= 2sinq
，
所以曲线C 的极坐标方程为
p
p
ö
æ
ö æ
r
1
r
,
由题意设 Aç
,
, B
÷ ç
÷
è
6 ø è
6 ø
2
p
q
q
r =
q r =
2sin ,
1
=
=
将
将
代入
6
p
1
p
r q
sin( + ) = 3
代入
，
6
6
= 2
可得 r
，
2
r r
= - =1
所以 AB
1
2
( )
( )
= x + 4
23. 1 依题意，得 f x
，
( )
则 f x
> 2 Û x + 4 > 2 Û x + 4 > 2 x＋4 < -2
或
，
解得 x
> -2或 x
< -6,
{
的解集为 x x
}
( )
故不等式 f x
> 2
2 x 6
> - 或 < -
( )
1
( )
+ x - a > 4 Û x +
+ x - a ³ 4,
2 依题意， f x
2
( )
2
b a -b
( )
1
1
1
+
+ x - a ³ x +
- x - a = a +
因为 x
( )
2
( )
2
2
( )
b a -b
b a -b
b a -b
( )
a = b + a -b ³ 2 b a -b ，
1
4
³
故
( )
b a -b a
2
1
4
+
³ a + ³ 4
故 a2
2
( )
b a -b
a
2
2
=
2, b =
当且仅当a
时，等号成立.
2

设x 表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2 ，则有:
( ) C C C C C C C
37
2
2
1
1
2
2
2
x
P = 0 =
× +
× + ×
=
C C C C 100
,
2
C C
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
( ) C C C C C C C C C C
54
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
x
P =1 =
×
C C
+
×
+ ×

,
2
2
3
2
C2
3
2
C2
3
3
C C
4
1
100
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
( ) C C C C C C
9
2
2
1
1
2
2
P x = 2 =
× +
× + ×0 =
,
2
C C
3
2
3
3
C C C
3
100
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
( ) ( ) ( )
x
x
x
=1 > P = 0 > P = 2
因为 P
，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 人.
1
( )
3 按照先 A后 B 的顺序所需人数期望最小.
① X
设 表示先 A后 B 完成任务所需人员数目，则
X
P
1
2
( )
-
1 P P
P
1
1
1
( )
( )
E X = P + 2 1- P = 2- P
1
1
1
①设Y 表示 B 先后 A完成任务所需人员数目，则
X
P
1
2
( )
1 P P
-
P
2
2
2
( )
( ) ( )
E Y = P + 2(1- P ) = 2- P ,E Y - E X = P - P > 0.
2
2
2
1
2
故按照先 A后 B 的顺序所需人数期望最小.
ìx = cosq
( )
q
q
2
+ (y -1) = cos + sin =1
22.解 1 由í
可得 x2
，
2
2
=1+ sinq
îy
( )
+ y -1 =1
，
所以曲线C 的普通方程为 x2
2
p
æ
ç
è
ö
r
由 sin
q
+
= 3,
÷
4 ø
3
1
r q
sin
r q
cos - 3 = 0
+
所以
，
2
2
+ 3y - 2 3 = 0
所以直线l 的直角坐标方程为 x
.

( )
+ y - 2y = 0
2 曲线C 的方程可化为 x2
，
2
r
= 2sinq
，
所以曲线C 的极坐标方程为
p
p
ö
æ
ö æ
r
1
r
,
由题意设 Aç
,
, B
÷ ç
÷
è
6 ø è
6 ø
2
p
q
q
r =
q r =
2sin ,
1
=
=
将
将
代入
6
p
1
p
r q
sin( + ) = 3
代入
，
6
6
= 2
可得 r
，
2
r r
= - =1
所以 AB
1
2
( )
( )
= x + 4
23. 1 依题意，得 f x
，
( )

则 f x
> 2 Û x + 4 > 2 Û x + 4 > 2 x＋4 < -2
或
，
解得 x
> -2或 x
< -6,
{
的解集为 x x
}
( )
故不等式 f x
> 2
2 x 6
> - 或 < -
( )
1
( )
+ x - a > 4 Û x +
+ x - a ³ 4,
2 依题意， f x
2
( )
2
b a -b
( )
1
1
1
+
+ x - a ³ x +
- x - a = a +
因为 x
( )
2
( )
2
2
( )
b a -b
b a -b
b a -b
( )
a = b + a -b ³ 2 b a -b ，
1
4
³
故
( )
b a -b a
2
1
4
+
³ a + ³ 4
故 a2
2
( )
b a -b
a
2
2
=
2, b =
当且仅当a
时，等号成立.
2