19-20学年河南省郑州市高二上学期期末数学试卷-(含答案解析).docx

19-20 学年河南省郑州市高二上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 若集合 = {1,2，3}， =
−
≥ 0}，则 ∩ = ( )
2
A.
B.
C.
D.
{2}
{3}
{1,2}
{2,3}
2. 命题“ ∈ ， ≠ ”的否定是( )
2
B.
D.
A.
∈
∈
∉ ， 2 ≠
， =
2
C.
∉ ， 2 ≠
， =
2
3. 如果
满足 < < ，且 < 0那么下列选项中不一定成立的是( )
D.
A.
B.
C.
− < 0
>
−
> 0
4. 如果命题“￢ ∨ ”为假命题，那么(
)
A.
C.
B.
D.
、 中至少一个有一个为真命题
p q
、 均为假命题
p q
、 均为真命题
p q
、 中至多一个有一个为真命题
p q
+ ≤ 5  
− ≤ 4
5. 设变量 ， 满足约束条件{
x y
+ ≤ 1，则目标函数 =
+ 的最大值为( )
≥ 0
A.
B.
C.
D.
4
12
13
28
6. 椭圆
2
+
2
= 1的焦距为 2，则 的值是(
)
m
4
A.
B.
C.
C.
D.
6 或 2
5
1 或 9
3 或 5
7. 在△
中，已知 = 4， = ，当△
的面积等于2√3时，
等于(
)
3
B.
D.
A.
√7
14
√14
√14
√21
14
14
7
8. 已知数列{ }中， = 1,前 项和为 ,且点
,
∈
)在直线 − + 1 = 0上，则1 +
∗
n
1
1
1 + 1 + ⋯+ 1
等于( )
2
3
B.
C.
D.
A.
2
2
9. 如图，当甲船位于 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 处有一艘渔船遇险等待营救．甲
A
B
船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30∘，相距 10 海里 处的乙船，则乙船应朝
C
北偏东( )的方向沿直线前往 处救援(角度精确到1∘)？
B

B.
C.
D.
71∘
A.
30∘
60∘
中，“
=
”“
=
”则
所成
A.
B.
C.
D.
D.
30°
45°
60°
A B
90°
= 5，则
11.
过抛物线 ： = 的焦点 的直线交 于 ， 两点，若
= ( )
C
2
F
C
4
C.
A.
B. 5
2
4
5
2
12. 已知三棱锥 −
四个顶点都在半径为 3 的球面上，且
过球心，当三棱锥 −
的体积
BC
最大时，则三棱锥 −
的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
18 + 6√3
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 为等差数列 }的前 项和， = −1， = 6，则 =________．
18 + 8√3
18 + 9√3
18 + 10√3
n
1
3
6
14. 设 > 0， > 0， +
15. 如图所示，四棱锥 −
= 4，则
的最小值为________________．
的底面是一直角梯形，
=
， 为
E
的中点，则
PC
与平面
的位置关系为__________．
PAD
BE

16. 已知双曲线 ：
2
2
−
2
2
=
> 0, > 0)的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 的两条渐
C
C
1
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
近线分别交于 ， 两点．若
A B
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗
，则 的离心率为
= 0
=
，
⋅
C
1
1
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 已知命题 ： − + 10 ≤ 0， ： − −
+ − 1) ≤ 0(其中 > 0)．
(1)若 = 2，且命题 且 为真，求实数 的取值范围；
p
2
q
p
q
x
(2)已知 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
p
q
a
18. 如图，在三棱锥 −
的中点．
中，平面
⊥平面 ABC， =
，
⊥
，
=
=
，D
√
为
AB
(1)证明： ⊥平面 SAC；
(2)求二面角 − − 的余弦值．

19. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二
氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 元)与月处理量
1
−
−
+
∈ [120,144)
且每处理一吨
+ 80000, ∈ [144,500]
3
2
2
吨)之间的函数关系可近似地表示为 {3
1
2
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当 ∈ [200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家
每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
20. 在三角形
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
A B C a b c
=
．
ABC
2
2
2
(1)求角 ；
A
(2)若 = 2，求 的取值范围．
bc
√
21. 如图，已知椭圆 ：
2
2
+
2
2
=
> > 0)的左顶点
，且点(−1, 3)在椭圆上， ， 分
E
1
2
2
别是椭圆的左、右焦点．过点 作斜率为
A
> 0)的直线交椭圆 于另一点 ，直线 2交椭圆
E
B

于点 ．
C
E
(1)求椭圆 的标准方程；
E
(2)若
⊥
，求 的值．
k
1
22.
}的前 n 项和为 ，且
=
− ．
已知数列
(1)求数列 }的通项公式；
(2)若数列 }满足 =
， ∈ ，求 }的前 项和 ．
∗
n
1

-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解： =
≤ 0，或 ≥ 2}；
∴ ∩ = {2,3}．
故选：D．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．
2.答案：D
解析：
本题考查全称命题与特称命题的否定，
根据全称命题的否定是特称命题，即可写出结果．
解：命题
的否定是“ ∈
2 = ”，
故选D．
3.答案：C
解析：解：由 < 0且 < 知 < 0， > 0，而b 可正、可负，也可能为0，当 = 0时，
显
然不成立．
4.答案：A
解析：
本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．
利用复合命题的真假判断方法即可得出结论．
解：由命题“￢ ∨ ”为假命题，则 ∨ 为真命题．

∴ 、q 中至少一个有一个为真命题．
故选：A．
5.答案：C
解析：
− ≤ 4
+ ≤ 1对应的平面区域 (阴影部分)，
≥ 0
2 +
3
由 =
+ ，得 = −
，
3
2 +
3
= − 2 +
平移直线 = −
，由图象可知当直线
经过点 A 时，
3
3
3
直线的截距最大，此时 z 最大．
+ = 5
由
+ = 1，解得
．
此时 z 的最大值为 = 2 × 2 + 3 × 3 = 13
故选 C．
6.答案：D
解析：
本题考查椭圆的标准方程和几何性质考查，属于基础题．
分焦点在哪个轴上讨论求解即可．
解：由题意可得： = 1．
①当椭圆的焦点在
x 轴上时， − 4 = 1，
解得 = 5，
②当椭圆的焦点在
y 轴上时，4 − = 1，

解得 = 3，
则 m 的值是 3 或5.
故选 D．
7.答案：D
解析：
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式，属于一般题．
由△
的面积求出 c，再由余弦定理求出 b，再由正弦定理求出 sinC 的值．
1
解：由△
可得 = 2，
的面积2√3 =
， = 4，
2
3
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 −
= 16 + 4 + 2 × 2 × 4 × 1 = 28，
2
∴ = 2√7，
2 = 2√7
由正弦定理可得
，
sin
3
解得
= √21，
14
故选 D.
8.答案：A
解析：
本题考查等差数列的判定及通项公式，同时考查等差数列的前n 项和公式及裂项相消法求和，属于
中档题．
= 1，得到数列 }是以 1 为首
由“
项，以 1 为公差的等差数列，求其前 n 项和，再裂项相消法求和，即可得到答案．
解：∵点 ∈ ∗)在直线 − + 1 = 0上，
+ 1 = 0，即 = 1，
= 1，
,
∈ ∗)在直线 − + 1 = 0上”可得到
−
,
∴

−
−
又∵
1
∴数列 }是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列．
∴
= ，∴
=
，
2

∴ 1 =
2
= 2(1 − 1 )，
1 ... 1 = 2(1 − 1 1 − 1 ⋯ 1 − 1 ) = 2(1 − 1 ) =
1
1
则
．
2
2
3
1
2
3
故选 A．
9.答案：D
解析：在
中， = 20， = 10，
= 120∘，由余弦定理知 2 =
2
2 −
⋅
⋅
cos120 = 20
10 − 2 × 20 × 10 × (− 1) = 700，所以
= 10 7.由正弦定理得
√
∘
2
2
2
，所以
=
⋅
=
20 ⋅ sin120 = √21
，所以
≈
∘
10√7
7
41 .所以乙船应朝北偏东30 41 = 71 的方向沿直线前往 B 处救援．
∘
∘
∘
∘
10.答案：D
∵
∴
∵
∴
∵
∴
=
⊥
∩
，
，
=
⊥
，
，
= ，
⊥平面 AOB，
⊂平面 AOB，∴
⊥
，
与 CD 所成的角为90°．
故选：D．
取 CD 中点 O，连结 BO、AO，推导出
⊥平面 AOB，从而得到 AB 与 CD 所成的角为90°．
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11.答案：D
解析：
本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．
5
根据抛物线的定义，结合
结论．
= ，求出A 的坐标，然后求出AF 的方程求出 B 点的横坐标即可得到
4

解：抛物线 2 = ，抛物线的焦点
准线方程为 = −1， = 2，
，
设
则
，
5
1
= + 1 = ，故 = ，此时 = ±1，
4
4
1
4
1−
=
= ± 3，
0−(±1)
4
3 + 1，
4
则直线 AF 的方程为： = ±
代入 2 = ，得
．
则
= 4 + 1 = 5，
故选：D．
12.
答案：C
解析：
本题考查几何体的外接球，几何体的体积与几何体的位置关系的判断，表面积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力，是中档题．
判断几何体的体积最大时的位置，然后求解三棱锥的表面积．
解：因为三棱锥 −
四个顶点都在半径为 3 的球面上，且 BC 过球心，
所以 BC 是球的直径，D 在以球心为直径的大圆面上，
当三角形 DBC 是等腰直角三角形时，底面积最大，
当 A 与球心的连线与 BCD 平面垂直时，三棱锥 −
则此时几何体的体积最大，此时 OA 为该三棱锥的高；
如图：
的高最大，

此时
=
=
=
= 3，
=
=
= 3 2，
=
= 3 2，
√
√
则三棱锥的表面积为：2 × 1 × 6 × 3 + 2 × √3 × (3√2) = 18 + 9√3．
2
2
4
故选： ．
C
13.答案：39
解析：
本题考查等差数列的性质和求和，属于基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运
用．
由等差数列性质求出 ，再由 = −1求出公差，由此能求出 ．
2
1
6
解：由 为等差数列 }的前 n 项和，
得 = = 6，
3
2
所以 = 2，又 = −1，
2
1
所以公差 =

−
= 3，
2
1
=
+ 6×5 = −6 + 45 = 39．
6
1
2
故答案为 39．
9
14.答案：
2
解析：
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
5
将
化简为2 + ，再利用基本不等式求最值，注意取等条件．
解： > 0， > 0， +
= 4，
则
+ +
+ 5
+ 1
=
=
= 2 + 5
；
> 0， > 0， +
= 4，
由基本不等式有：4 = +
≥ 2√
，

∴ 0 <
≤ 2，
5 ≥ 5
，
2
5 ≥ 2 + 5 = 9
故：2 +
，
2
2
(当且仅当 =
= 2时，即： = 2， = 1时，等号成立)，
9
2
故
的最小值为 ．
9
故答案为： ．
2
15.答案：平行
1
2
解析：取
故
的中点 ，连 接
F
，由
为中点，所以
且
=
，又
，
=
，
PD
，且
=
，从而四边形ABEF 为平行四边形，所以，
⊄平面 PAD，
⊂
16.答案：2
解析：
本题考查双曲线的简单性质，是中档题．
由题意画出图形，结合已知可得
解：如图，
⊥
，从而可得
，进而求出离心率．
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗，且⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = 0，
∵
∴
∴
=
⊥
⋅
1
1
2
=
，
1
2
1
⊥
，
1
则△
≌△
，
1
则
，

所以一条渐近线的斜率为
，
所以 = = √1 +
2
2
= 2，
故答案为：2．
17.答案：解：
： 2 −
+ 10 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ ≤ 5，
若 = 2， ： − −
+ − 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ ≤ 3，
q
且命题 且 为真，取交集，所以实数 的范围为 ∈ [2,3]；
p
q
x
： −
+ 10 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ ≤ 5，
+ − 1) ≤ 0 ⇔ 1 − ≤ ≤ 1 +
2
q： − −
> 0)，
若 是 的充分条件，则[2,5] ⊆ [1 − 1 + ，
p
q
1 − ≤ 2
5 ≤ 1 +
−1 ≤
4 ≤
则{
⇒ {
⇒ 4 ≤ ．
解析：本题主要考查复合命题的真假关系的应用以及充分条件和必要条件的应用，属于基础题．
(1)若 = 2，且命题 且 为真，即可求实数 的取值范围；
p
q
x
(2)已知 是 的充分条件，根据条件关系建立不等式关系即可，求实数 的取值范围．
p
q
a
18.答案：(1)证明：因为平面
⊥平面 ABC，平面
∩平
面
=
⊥
，
所以
又因为
．
⊥
．
=
2 +
2，即
⊥
√
因为
∩
= ，且 AC， ⊂平面 SAC，
所以 ⊥平面 SAC．
(2)解：如图，建立空间直角坐标系 −
，令
= 4，则
0，0)，
0，0)，
4，0)，
0，
2)，
0，0)．
易得⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,0, −2)，⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0,2)，⃗⃗⃗⃗⃗= (−2,4,0)．
⃗⃗⃗⃗⃗
的一个法向量，则{⃗ ⋅
=
= 0
+
= 0，取 = 2，则 = 1， = 0，
设⃗ =
所以⃗ = (2,1,0)．
又因为⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,0, −2)为平面 SAC 的一个法向量，所以cos <
为平面
DCS
⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗=
⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗ >=
4
= √10．
√5×2√2
5

所以二面角 −
解析：(1)证明
− 的余弦值为√10．
5
⊥平面 SAB，推出
⊥
通过 2 =
2 +
2，得到
⊥
然后证明 ⊥平
面
SAC．
(2)建立空间直角坐标系 −
的一个法向量，通过斜率的数量积求解二面角 −
，令
= 4，求出相关点的坐标，求出平面DCS 的一个法向量，平
面
− 的余弦值．
SAC
本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断与性质的应用，二面角的平面角的求法，考查空
间想象能力以及计算能力．
19.
− (1
−
2
+ 80000) = − 1 − 400)2， ∈
答案：解：(1)设获得利润为
[200,300]．
= −20000，
=
2
2
= −5000．
∵
在 ∈ [200,300]上单调递增，∴
可知不获利，则国家每月至少需要补贴 20000 元才能使该项目不亏损．
(2)设每吨的平均处理成本为
∈ [−5000, −20000]．
，
1
3
∈ [120,144)时，
3
2
．
− 120) + 240
=
=
1
3
−
+ 5040 =
1
3
2
2
可得函数
在 ∈ [120,144)时单调递增，因此 = 120时，
取得最小值，
= 240．
1
2
2
∈ [144,500]时，
当且仅当 = 400时取等号．
即可得函数 在 ∈ [144,500]时， = 400时，
综上可得：该项目每月处理量为 200 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
=
= + 80000 − 200 ≥ 2√ × 80000 − 200 = 200．
2
2
取得最小值，
= 400．
+ 80000) = − 1 − 400)2， ∈ [200,300].再利
解析：(1)设获得利润为
=
− (1
−
2
2

2
用二次函数的单调性即可得出．
(2)设每吨的平均处理成本为
，
1
∈ [120,144)时，
3
2
利用二次函数
− 120) + 240.
=
=
1
−
+ 5040 =
1
3
2
2
3
3
的单调性即可得出最小值．
1
2
∈ [144,500]时，
2
80000 − 200，利用基本不等式的性质即可得出最
= +
=
2

小值．
本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.答案：解：(1) ∵
=
，由余弦定理可得：
=
，
2
2
2
∴
∴
≠ 0，
= 1，即
= 1，
∴
=
， = ．
2
4
(2) ∵正根据弦定理可得：
=
=
，
∴
=
，
∵ =
，
4
√2
=
√2
2
∴
=
4
2
= √
√2(1
，
∴
=
) √2，
4
中，得到 的范围：(0,
B
)，
∈ (
, )，
4
在三角形
ABC
4
4
4
则 范围：(0,2 √2]．
bc
解析：(1)由已知及余弦定理，二倍角公式化简可得
(2)根据正弦定理可得 = ，结 合 =
= 1，进而可求 = ，即可得解 的值．
A
2
，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 =
4
) √2，结合 的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解 的范围．
bc
B
4
本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和
性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
= 2
= 2
=
2
2
2，解得{ = √3，
21.答案：解：(1)由题意得{
1
9 = 1
= 1
2
2
2
2
= 1．
所以椭圆 的标准方程为
E
4
3
(2)设直线
的方程为 =
2)，
AB

= ( + 2)
由
，得(3 +
2
2 +
2 +
2 − 12 = 0，
2
+
2
= 1
4
3
= (
) − 4(3 + 2)(
2 2
− 12) = 144 > 0，
2
所以
⋅
=
=
2−12，
2
所以
=
2+6，
2
所以 =
+ 2) =
，
2
2+6 ,
)，
所以 (
2
2
1
3
3
若 = ，则 (1, )， (1, − )，
2
2
2
因为 (−1,0)，
1
= − 3
所以
所以
，
1
4
与 AB 不垂直，
1
1
所以 ≠ ．
2
因为 (1,0)，
2
所以
=
，
= − 1，
2
2
1
1
+ 1)，
所以直线 2的方程为 =
− 1)，直线 1的方程为 = −
2
=
( − 1)
=
=
− 1，
2
由
2
，解得
．
= − 1 ( + 1)
所以
2 − 1,
2−1)2
4
+
2
= 1，即
−
+ 9) = 0，即 = 1
2 2 ，
又点 在椭圆上得
C
2
3
24

因为 > 0，
所以 = √6．
12
解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查
分类讨论，考查计算能力，属于中档题．
(1)将点代入椭圆方程，即可求得 和 的值，从而可得椭圆方程；
a
b
(2)设直线
的方程，代入椭圆方程，即可求得 点坐标，分别求得 2及 1的方程，联立，求得
AB
B
点坐标，代入椭圆方程，即可求得 的值．
k
C
22.
=
− ，可得 =
=
− 1，
答案：解：(1)由题意，
1
1
1
解得 = 1，
1
当 ≥ 2时，
=
− + 1，
可得 =
−
=
−
− 1，
所以 + 1 =
+ 1)， ≥ 2，
又 + 1 = 2，
1
+ 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以数列
所以 + 1 = 2 ， ∈ ∗，
所以 = 2 − 1， ∈ ∗；
(2)由(1)知， = 2 − 1， ∈ ∗，
∴
=
∈
∗)，
2
= 1 + 3 + 5 + ⋯+
又
，
2
22
23
2
1
2
= 1 + 3 + ⋯+
+
，
22
23
2
2
1
= 1 + ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) −
两式相减，得
2
2
22
23
2
2
1
4
1
(1 −
)
1
− 1
2
= + 2(
) −
1
2
2
2
1 −
= 3 − 1 −
，
2
2
2

∴
= 3 −
．
2
解析：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，等比数列的通项公式和求和
公式，考查运算能力，属于中档题．
(1)运用数列的递推式，即可求出结果；
(2)求得 =
∈
∗)，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得
2
到结果．

因为 > 0，
所以 = √6．
12
解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查
分类讨论，考查计算能力，属于中档题．
(1)将点代入椭圆方程，即可求得 和 的值，从而可得椭圆方程；
a
b
(2)设直线
的方程，代入椭圆方程，即可求得 点坐标，分别求得 2及 1的方程，联立，求得
AB
B
点坐标，代入椭圆方程，即可求得 的值．
k
C
22.
=
− ，可得 =
=
− 1，
答案：解：(1)由题意，
1
1
1
解得 = 1，
1
当 ≥ 2时，
=
− + 1，
可得 =
−
=
−
− 1，
所以 + 1 =
+ 1)， ≥ 2，
又 + 1 = 2，
1
+ 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以数列
所以 + 1 = 2 ， ∈ ∗，
所以 = 2 − 1， ∈ ∗；
(2)由(1)知， = 2 − 1， ∈ ∗，
∴
=
∈
∗)，
2
= 1 + 3 + 5 + ⋯+
又
，
2
22
23
2
1
2
= 1 + 3 + ⋯+
+
，
22
23
2
2
1
= 1 + ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) −
两式相减，得
2
2
22
23
2
2
1
4
1
(1 −
)
1
− 1
2
= + 2(
) −
1
2
2
2
1 −
= 3 − 1 −
，
2
2
2

∴
= 3 −
．
2
解析：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，等比数列的通项公式和求和
公式，考查运算能力，属于中档题．
(1)运用数列的递推式，即可求出结果；
(2)求得 =
∈
∗)，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得
2
到结果．