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银川一中2015届高三第三次模拟考试
数学（理）试题第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，. 则=
A．(-3，-2] B．[-2，-1) C．[-1，2) D．[2，3)
2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A. 2 B. 2 C. D.
3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知,则
A．-3 B. C．3 D.
5．如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有
A．11种 B． 12种
C．20种 D． 21种
6．已知O是坐标原点，点A（-1,1）, 若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是
A．[0，1] B． [0，2]
C．[－1，0] 　　D．[－1，2]
7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为
A．2 B．1 C． D．
8．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）
变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），
表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则
A． B． C． D．
9．在中,角A、B、C的对边分别是.若,则角A等于A． B． C． D．
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
则该几何体的表面积为（单位：m2）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为
A. 4 B. 2 C. D.
12．已知函数又.
若的最小值为，则正数的值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）.若与共线，则k=______________.
14．若曲线在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则＝________.
15．已知是定义在R上的奇函数．当时，，则不等式
的解集用区间表示为________________.
16．如图，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.
设M是底面ABC内的一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、　　　
p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的
体积．若，且恒成立，则正实数a
的最小值为________．
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的首项,其前n项和为,且分别是等比数列的第2项,第3项,第4项.
(I)求数列与的通项公式;
(II)证明
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为的菱形，
且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分
别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.
(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;
(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数 (为实常数) .
(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;
(2)当时,讨论方程根的个数.
(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
（1）证明：∠D＝∠E;
（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，
且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，射线与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知函数．
(I)若不等式的解集为，求实数a的值；
(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．

银川一中2015届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6

7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
D
D
B
C
B
C
B
B
B
二、填空题：
13. k=1; 14. ;15.xÎ(-5,0)È(5,+);16. 1.
17.
18．【解析】(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.
又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M，N(，0，)，C(，3,0)．
设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，C＝(－，－3，2 )．
∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2 λ)，∴Q(－λ，3－3λ，2 λ)．由A⊥C⇒A·C＝0，得λ＝.即：Q.对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．∵A＝，A＝(，0，)．
则⇒⇒
∴n＝.同理对于平面QMN，
得其法向量为v＝.
记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，
则cosθ＝＝.
∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
19.解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件，E表示事件“甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试”则：
=0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4 =0.5
(2) “甲乙、丙三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取”分别记为事件A，B，C.
则
又题意，知X所有可能的取值为0，1，2，3.根据事件的独立性和互斥性得

所求分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027

20. 解　(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c＝＝.
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b＝×＝1.
可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时，
设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)．
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝m2－＋＋k2(－＋1)＝
＝＝(4m2－8m＋1)＋.
要使·为定值，令2m－＝0，即m＝，此时·＝.
当直线l的斜率不存在时，不妨取P(1，)，Q(1，－)，
由E(，0)，可得＝(，－)，＝(，)，所以·＝－＝.
综上，存在点E(，0)，使·为定值.
21. 解:(1),当时,.当时,,又,故,当时,取等号
(2)易知,故,方程根的个数等价于时,
方程根的个数. 设=,
当时,,函数递减,当时,,函数递增.又,,作出与直线的图像,由图像知:
当时,即时,方程有2个相异的根;
当 或时,方程有1个根;
当时,方程有0个根;
(3)当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于
即,故原题等价于函数在时是减函数,
恒成立,即在时恒成立.
在时是减函数
22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；
（2）设BC的中点为N，连接MN，
则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形
23．解：（1）：，------------2分
：，-----------------------------------4分
因为曲线关于曲线对称，，：------5分
（2）；

，
-----------------------8分
-----------------------10分
24.解：（Ⅰ）由得，∴，即，
∴，∴。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是。