北京市西城区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(无答案).docx

北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷
高一数学
2021．1
本试卷共 5 页 ，共 150 分。考试时长120 分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷
上作答无效。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
{
}
，
B = {x∣x = 2k -1,k Î N}，那么 AÇB =
= -1,0,2,3
1．已知集合 A
{ }
-1,0
{ }
-1,2
{ }
0,3
{ }
-1,3
D．
A．
B．
C．

ìx + y =
0
2．方程组 í
的解集是
2 + =
2
îx x
{
}
{
}
( ) ( )
( ) ( )
1,-1 , ?1,1
1,1 , -2,2
A．
C．
B．
D．
{
}
{
}
( ) ( )
( ) ( )
1,-1 , -2,2
2,-2 , -2,2
1
= lg x +
3．函数 y
的定义域是
x -1
( )
0,1 (1,+¥)
A．(0,+¥)
B．(1,+¥)
C
．
)
[0,1 (1,+¥)
D．
4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽
[ ]
Î 0,50
取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间t
图所示的频率分布直方图。则图中 a 的值为
），分组整理数据得到如

A．0.028
B．0.030
C．0.280
D．0.300
> b
5．若a
，则一定有
1 1
<
a b
B．|a |>|b |
a2 b2
>
A．
C
．
3
> b3
D．a
+ CB =
6．在平行四边形 ABCD 中，设对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则 AB
A．2BO
2DO
B．
C．
D．
AC
BD
2 = 3
7．设
，则 m，n 的大小关系一定是
m
n
A． >
m n
B． <
m n
C．m ³ n
D．以上答
案都不对
8．从 2015 年到 2020 年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了 2020 年该企
业单位生产总值能耗降低了 20%。如果这五年平均每年降低的百分率为 x，那么 x 满足
的方程是
( )
x
= 0.2
5
A．5x = 0.2
B．
5 1- = 0.8
C
．
x
D．(1- x)5 = 0.8
l(l 0)
³
= b
a + b = a + b
”
9．设 ，b 为平面向量，则“存在实数
，使得a l ”是“
a
的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
( )
( )
+1
10．设 f x 为定义在 R 上的函数，函数 f x
是奇函数。对于下列四个结论：
( )
① f l
= 0
；

( ) ( )
1- x = - f 1+ x
② f
；
( )
③函数 f x 的图像关于原点对称；
( )
④函数 f x 的图像关于点
( )
1,0
对称；
其中，正确结论的个数为
A．l
B．2
C．3
D．4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
( )
= 1,-2
( )
3,1
，那么
= -
a - b =
__________。
11．已知向量a
，b
12．若方程 x2 - 2x + a = 0
有两个不相等的正实数根，则实数 a 的取值范围是__________。
( )
( ) ( )
( )
f 2 - 0
，则不等式
0,+¥
13．设 f x 为 R 上的奇函数，且 f x 在
上单调递增，
( )
f x < 0的解集是_____________
。
log x, x > 0
ì
í
( )
( )
-
(x) =
2 = =
_________;当函数 y f x a 有
14．已知函数 f
0.5
，那么 f
+ 2x, x £ 0
îx
2
且仅有三个零点时，实数 a 的取值范围是__________。
15．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用 3 个该品牌的可乐空罐换 1
罐可乐。对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买 10 罐可乐，那么实际最多可以饮 13 罐可乐;
②欲饮用 100 罐可乐，至少需要购买 67 罐可乐：
-1
én ù
③如果购买 n(n ÎN*)
罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数 f n n
( ) = +
。
ê
ú
2
ë
û
[ ]
（其中 x 表示不大于 x 的最大整数）
则所有正确说法的序号是__________。
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13 分）
某校高一年级 1000 名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
， 进
成绩，整理并按分数段
，
，
，
，

行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如
下
（I）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于 70 分的学生人数：
[ ) [ )
60,70
80,90
的样本学生中随机抽取 2 人，求其中恰有 1 人
（II）现从体育成绩在
和
[ )
60,70
体育成绩在
的概率。
17．（本小题 15 分）
4
(x) = x + + 3
设函数 f
x
( )
= 2x
（Ⅰ）求函数 f x 的图像与直线 y
交点的坐标：
( )
时，求函数 f x 的最小值
Î(0,+¥)
（II）当 x
( ) ( )
2,+¥
（II）用单调性定义证明：函数 f x 在
上单调递增。
18．（本小题 14 分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩。乙组记录中有一个
数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示。
（I）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求 a 的值;
（II）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;
= 3
（II）当 a
时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小。（结论不要求证明）
19．（本小题 15 分）

2 +1
x
(x) =
设函数 f
（I）若 f
2 -1
x
(a) = 2
，求实数 a 的值;
( )
（II）判断函数 f x 的奇偶性，并证明你的结论;
( )
（II）若 f x
x Î[1,+¥)恒成立，求实数 m 的最小值。
对于
£ m
20．（本小题 13 分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 吨该产品获利润 500 元，未售出
的产品，每 1 吨亏损 300 元。经销商为下一个销售季度购进了 130 吨该农产品。以 x（单位：
吨，100 £ x £ 150
）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售
季度内销售该农产品的利润。
（I）将 y 表示为 x 的函数：
（II）求出下一个销售季度利润 y 不少于 57000 元时，市场需求量 x 的范围。
21．（本小题 15 分）
( )
(m ¹ 0)
xÎR
，
设 函 数 f x 的 定 义 域 为 R ． 若 存 在 常 数 m
， 对 于 任 意
( ) ( )
( )
f x + m = mf x 成立，则称函数 f x 具有性质G 。记 为满足性质厂的所有函数的集
P
合。
y = x y
和
= 2是否属于集合 P？（结论不要求证明）
（I）判断函数
( )
（I）若函数 g(x) = ( 2)
;
Î P
x，证明： g x
ÇQ = Æ
（Ⅲ）记二次函数的全体为集合Q ，证明： P
。

行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如
下
（I）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于 70 分的学生人数：
[ ) [ )
60,70
80,90
的样本学生中随机抽取 2 人，求其中恰有 1 人
（II）现从体育成绩在
和
[ )
60,70
体育成绩在
的概率。
17．（本小题 15 分）
4
(x) = x + + 3
设函数 f
x
( )
= 2x
（Ⅰ）求函数 f x 的图像与直线 y
交点的坐标：
( )
时，求函数 f x 的最小值
Î(0,+¥)
（II）当 x
( ) ( )
2,+¥

（II）用单调性定义证明：函数 f x 在
上单调递增。
18．（本小题 14 分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩。乙组记录中有一个
数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示。
（I）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求 a 的值;
（II）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;
= 3
（II）当 a
时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小。（结论不要求证明）
19．（本小题 15 分）

2 +1
x
(x) =
设函数 f
（I）若 f
2 -1
x
(a) = 2
，求实数 a 的值
( )
（II）判断函数 f x 的奇偶性，并证明你的结论;
( )
（II）若 f x
x Î[1,+¥)恒成立，求实数 m 的最小值。
对于
£ m
20．（本小题 13 分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 吨该产品获利润 500 元，未售出
的产品，每 1 吨亏损 300 元。经销商为下一个销售季度购进了 130 吨该农产品。以 x（单位：
吨，100 £ x £ 150
）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售
季度内销售该农产品的利润。
（I）将 y 表示为 x 的函数：
（II）求出下一个销售季度利润 y 不少于 57000 元时，市场需求量 x 的范围。
21．（本小题 15 分）
( )
(m ¹ 0)
xÎR
，
设 函 数 f x 的 定 义 域 为 R ． 若 存 在 常 数 m
， 对 于 任 意
( ) ( )
( )
f x + m = mf x 成立，则称函数 f x 具有性质G 。记 为满足性质厂的所有函数的集
P
合。
y = x y
和
= 2是否属于集合 P？（结论不要求证明）
（I）判断函数
( )
（I）若函数 g(x) = ( 2)
;
Î P
x，证明： g x
ÇQ = Æ
（Ⅲ）记二次函数的全体为集合Q ，证明： P
。