高一第二学期期末复习.doc

2012-2013学年第二学期期中考试试题
高一数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 在中，设角所对边分别为，若，则角 ．
2. 在等差数列中，若则 ．
3. 已知关于x的不等式＞0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.
4.已知等比数列公比，若，，则
5. 在△ABC中，若a＝，b＝，A＝30°，则边c＝________.
6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”
答曰： 盏．
7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 .
8. 设动点满足,则的最大值是 ．
9. ,,则与的大小关系为 ．
10. 已知正项等比数列满足:,若存在两项使得,则的最小值为 ．
11．中，已知，则三角形的 形状为_____________．
12．已知圆内接四边形中，则四边形的面积为________．
13．设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________．
14.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝，则OD＋OE的最大值是________．
二、解答题（本大题共6小题，满分90分）
15. （本题满分14分)
解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0（）.

16.（本题满分14分)
在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，bcos B是acos C，ccos A的等差中项．
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．

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x1
输入
输出
结束
Yes
No

17.（本题满分15分)
对任意函数，可按流程图构造一个数列发生器，
其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出
；②若，则数列发生器结束工作；若，
则将反馈回输入端再输出,并且依此规律继续下去.
现定义.
(1)若输入，则由数列发生器产生数列，
请写出数列的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的
取值范围.

18.（本题满分15分）
设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N*)．
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？
若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．

19．（本题满分16分）
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定
优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为
万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？

20．(本小题满分16分)
已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2且an＞0.
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn＞loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
2012-2013学年第二学期期中考试试题卷
高一数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 在中，设角所对边分别为，若，则角 。
2. 在等差数列中，若则 。420
3. 已知关于x的不等式＞0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.2
4.已知等比数列公比，若，，则。42
5. 在△ABC中，若a＝，b＝，A＝30°，则边c＝________. 2或
6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”
答曰： 盏。 3
7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ▲ . 7500
8. 设动点满足,则的最大值是 。
100
9. ,,则与的大小关系
为 。

10. 已知正项等比数列满足:,若存在两项使得,则的最小值为 。
11．中，已知，则三角形的 形状为_____________。
等腰或直角
12．已知圆内接四边形中，则四边形的面积为________．
13．设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________。
14.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝，则OD＋OE的最大值是________．
解析　在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入CD2＋CE2＋DE2＝整理得2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－＝3OD·OE，由基本不等式得3OD·OE≤，所以2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－≤，解得0≤OD＋OE≤，即OD＋OE的最大值是.
答案　
二、解答题（本大题共6小题，满分90分）
15. （本题满分14分)
解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0（）.
解：　不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0，
即(ax－1)(x－2)＜0.
∵a＞0，不等式可以化为(x－2)＜0. …………………………4分
①若0＜a＜，则＞2，
此时不等式的解集为；…………………………7分
②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，不等式的解集为∅；…………………………9分
③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为.…………………………12分
综上所述，
当0＜a＜时，不等式的解集为；
当a＝时，不等式的解集为∅；
当a＞时，不等式的解集为。 …………………………14分

16.（本题满分14分)
在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，bcos B是acos C，ccos A的等差中项．
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．
解　(1)由题意，得acos C＋ccos A＝2bcos B.
由正弦定理，得sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos B，…………………………4分
即sin(A＋C)＝2sin Bcos B.
∵A＋C＝π－B,0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sin B≠0.
∴cos B＝，∴B＝。 .…………………………7分
(2)由B＝，得cos B＝＝，…………………………11分
即＝，∴ac＝2.

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输出
结束
Yes
No
∴S△ABC＝acsin B＝..…………………………14分

17.（本题满分15分)
对任意函数，可按流程图构造一个数列发生器，
其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出
；②若，则数列发生器结束工作；若，
则将反馈回输入端再输出,并且依此规律继续下去.
现定义.
(1)若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的
取值范围.
解：(I)的定义域为，，
，，因此只有三项；
…………………………5分
(II)要使该数列发生器产生一个无穷的常数数列，则有，则设，即，即时，，因此当时，；时，（ …………………………10分
(III) 解不等式得，，
要使，则，…………………………12分
由于，若，则不合题意；…………… ………14分
当时，且，
依次类推可得数列的所有项均满足，
综上所述，。…………………………15分
18.（本题满分15分）
设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N*)．
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？
若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．
解　(1)因为Sn＝n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝2n－1(n∈N*)…………………………4分
所以bn＝，则b1＝，b2＝，b8＝，由b＝b1b8，
得2＝×，解得m＝0(舍)或m＝9，所以m＝9. …………………………8分
(2)假设存在m，使得b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列，即2b4＝b1＋bt，则2×＝＋，化简得t＝7＋.…………………………12分
所以当m－5＝1,2,3,4,6,9,12,18,36时，分别存在t ＝43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意，即存
在这样m，且符合题意的m共有9个．…………………………15分
19．（本题满分16分）
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定
优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为
万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
解：（1）由题意得：， …………………………4分
即又所以
即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………7分
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则恒成立，………………………………10分
所以，　　所以，　　　
即恒成立，　　　　　　……………………………………12分
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以，　　　　又，　　　　所以，
即的取值范围为．　　　　　　　　　…………………………………………16分
20．(本小题满分16分)
已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2且an＞0.
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn＞loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当n＝1时，有a＝a，
由于an＞0，所以a1＝1.
当n＝2时，有a＋a＝(a1＋a2)2，
将a1＝1代入上式，由于an＞0，所以a2＝2. …………………………4分
(2)由于a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2，①
则有a＋a＋…＋a＋a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2.②
②－①，得a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2－(a1＋a2＋…＋an)2
由于an＞0，所以a＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an－1.③
同样有a＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，④
③－④，得a－a＝an＋1＋an，
所以an＋1－an＝1，
由于a2－a1＝1，即当n≥1时都有an＋1－an＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an＝n。. …………………………10分（若归纳出通项给2分，第三题可以继续做））
(3)由(2)知an＝n.
则＝＝，…………………………12分
所以Sn＝＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋
＝＝－.…………………………14分

∵Sn－1－Sn＝＞0，
∴数列{Sn}单调递增．
所以(Sn)min＝S1＝.
要使不等式Sn＞loga(1－a)对任意正整数n恒成立，
只要＞loga(1－a)．∵1－a＞0，∴0＜a＜1.
∴1－a＞a，即0＜a＜.所以，实数a的取值范围是.…………………………16分

高一数学试题卷第 9 页 共 9 页