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第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算 完全事件组 概率的概念 概率的 基本性质 古典型概率几何型概率条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件 的关系与运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率 和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及 贝叶斯公式.3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立 重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.一、主要内容讲解1、随机事件及其运算(1)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(2)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用研来表示，。为其元素.基本事件的并，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中的部分点(元素。)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是。的子集。Q为必然事件，为不可能事件。不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件(Q)的概率为b而概率为1的事件也不一定是必然事件。(3)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件夕的组成部分，(/发生n夕妙)：AB如果同时有Au 5,Bn A,则称事件/与事件夕等价，或称力等于民A二B。4夕中至少有一个发生的事件：NU夕，或者力+反属于/而不属于方的部分所构成的事件，称为力与方的差，记为力-夕，也可表 示为NT夕或者A万，它表示/发生而夕不发生的事件。4 6同时发生：AB,或者/反AHB=0,则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。注意尸(A5)=On 4,5互不相容吗？Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为X。它表示A不发生的 事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC分配率:(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)HC=(AC)U(BC)00 00 _nA=UA _ _ _ _德摩根率：-i-i=AQB，AnB=AJB注意：事件是用集合来表示的，所以事件的关系等同于集合之间的关系.事件的运算定律与代数式的运算定律相同，另外，还有加法对乘法的 分配律，乘法对减法的分配律,化简运算类似于代数式的运算.注：A(B-C)=A(BC)=ABC=AB-C=AB-AC.事件运算的结果必须按照其自身的含义，不同于数(式子)的运算结 果.A-B=A-AB=AB.思考：A,A+B B+B的关系.例 1.1 化简(A+B)(A+B)(A+B)解：=AA+AB+BA+BB)(A+B)=A(A+B)=AB例1.2 A,B,C为随机事件，“A发生必导致B、C同时发生”成立的充分条件为:(1)AnBAC=A(2)AUBUC=A分析：A发生统生,PIC.AubnC。(1)充分例1.3假设事件A和B满足P(B|A)=1,则(A)A是必然事件。(B)A=)Bo(C)A(=B o(D)P(AB)=0 o D分析：可以利用公式计算P(BA)=P(AB)P=1 n P(AB)=P(A)n P(A)-P(AB)=P(A-AB)=0,n P(AB)=0注意：历=0,但反之不能成立。如图,A AB w，但可以有尸(A-AB)=0.即概率为0的事件可以不是不可能事件.2、概率的定义和计算(1)概率的公理化定义理解即可设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足 下列三个条件：1 OWP(A)W1,2 P(Q)=1f 00、00P jAi=Z2(A)3对于两两互不相容的事件A,A2,有 v=i)日常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(2)统计概率，(A)=生也称为在n次试验中事件A出现的频率，其稳定值作为事件A n在一次试验中发生的概率。(不是极限值)注：频率在试验之后，概率在试验之前.用频率的方法求出的概率满足概率的公理化定义(3)古典概型1 Q=必必，2 P(J=尸(g)=尸(%)=,。n设任一事件A，它是由。,。2。加组成的，则有P=(电)U(2)UU(m)二尸(%)+P(2)T-卜P(m)=m=A所包含的基本事件数7基本事件总数例1.4.3白球，2黑球，Ar4(1)先后取2球，放回，至少一白的概率？1 吟=425(2)先后取2球，不放回，至少一白的概率？1 上三=二C；C：10(3)任取2球，至少一白的概率？1 =2410注意：(2)和(3)的结果是相同的.例1.5袋中装有。个白球及尸个黑球。从袋中任取+8个球，试求其中含Q个白球，8个黑球的概率(4外人广)。从袋中任意地接连取出k+1(4+1。+)个球，如果取出后不放回，试求最后 取出的一个是白球的概率。上两题改成“放回”。解.夕 pJaXPz;a叫 P C a+0、ba+(3)ya+/3)a+0aa/例1.6.从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。解:。12C：从6双中取一双，C；从剩下5双中取2双，C 一从1双中取一只)，注意：本题不作为考核重点。例1.7.有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？1-注：对于至少、至多的问题，一般都利用对立事件来解决更方便.例1.8.有两组数，都是1,2,3,4,5,6),分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率?Q(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)36例1.9.52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。解：13个数字，4种花色C：3XC：X/X（C；）3一对=0.423.两对。:义勺义仁;义。；:0.0475.同花顺 生以=1.56义10一 5.例1.10.设有n个质点，每个以相同的概率落入N个盒子中。设A二“指定的n 个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A的概率。(1)(麦克斯威尔-波尔茨曼统计)假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒 子能容纳的质点数不限。(2)费 米狄拉克统计)假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只 能容纳一个质点。1 1解(1)每个质点有N种选择方法，尸=.生日问题(2)P=.Nn C；(4)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概 型。对任一事件A,P(A)=，。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L(Q)例 1.11.向正方形 ABCD顶点坐标为(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)内随机投点，求其落在x，y?Wl的概率。4例1.12侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时 间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。例1.13.会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小 时，求它们会面的概率是多少？例1.14.把长度为线段分为三段，求能构成三角形的概率。（,）4解题要点古典概型：分子、分母同序（同时有序或无序；至少有一个，用对立事件；均匀分布用几何概率计算。3、概率法则(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BuA 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A二Q 时,P(B)=1-P(B)(3)条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0,则称竺2为事件A发生条件下，事件 PB发生的条件概率，记为尸/A)=心。P条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如，若 P(B)0,则 P(Q忸)=1,P(AB)=1-P(AB).(4)乘法公式乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)二尸尸(A更一般地,对事件A，A2,-An,若PGA?An)。,则有P(A1A2.An)=P(A1)P(A2 I A1)P(A3 I A1A2).P(An A1A2.An-l)o例1.15.一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球 两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球 颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。解(1)先后不放网牛=或者一次性计算.cc 10 c；10_ _ _ _ 3(2)尸(44+A4)=尸(44)+尸(A4)=不A取出白球-9(3)1-P(A1A2)=.例1.16：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概 率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。解：从一第i次打开，尸(4)=g(2)尸(急)=尸尸(4囚)WK(3)尸(2通3)=尸(4)尸(可4)尸(4同不)=g注意：这里所求的都是积事件的概率，而不是条件概率。例L17.从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？解：用缩减样本空间的方法很方便。分母：(0,8),(1,7),(2,6),9 种分子：(3,5),(5,3)-2 种.P=-9例1.18：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概 率？注意：条件概率与积事件概率的区别。已知，如果等是条件概率的标志，学会用缩减样本空间的方法求条件概率。(5)独立性两个事件的独立性设事件A、5满足尸(40=尸(A)尸(5),则称事件A、5是相互独立的。若事件A、5相互独立，且尸(A)。，则有P(B I A)=P(AB)尸(A)P(A)P(B)尸=P(B)若事件A、5相互独立，则可得到N与5、A与方、同与否也都相互独立。必然事件Q和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。例L 19：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9,乙射中的概率为0.8,求目标被射中的概率。0.98例1.20：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45,0.55,0.60,问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮(成功概率为0.9)?1-P(匹*)=1-0.55X0.45X0.40=0.901),能够。例1.21：设两两相互独立的三事件A,B,C,满足：1 oABC=O,P(A)=P(B)=P(C)0,P(B)0,证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥；(2)若A与B互斥，则A与B不独立。注意：独立和互斥是矛盾的，只有在4=或6=时，才能同时成立。例1.23：“A,B,C为随机事件，A-B与C独立”的充分条件：、同时成立(1)A,B,C 两两独立(2)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)分析:A-B 与 C 独立 oP(A 5)C=尸(A 5)尸(C)o 尸(A&)=尸(A历尸(C)例1.24：设4 B,。是三个相互独立的随机事件，且0(C)0a=12 M,nAU|JB2/=1,则有P(A)=P(Bi)P(A I Bi)+P(B2)P(A I P2)+P(Bn)P(A I Bn)。例1.27：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到 白球的概率？解：从-取到白球，尸(4)=尸(44+A4)=尸(44)+尸(44)40 39 60 40 40-x-1-x-100 99 100 99 100注意：事实上，任一次取到白球的概率都相同,即通常所说的摸彩模型。可以不用全概率公式，解法如下：或，=理_ 耳。100更一般地，第k次取到白球的概率为二 K%100类似这类的问题，不利用全概率更方便，注意总结其解题方法。再如下面的例子。例1.28：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。解法一：如上例。即是第5次取出白球的概率；解法二：前4次取球不影响剩下球中白球的比例。例1.29：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过3件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概 率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为 该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。解：A通过检验，与一一 100件产品中有i个次品。Cxcf-k.10 C1OO3P(A)=Z 尸(耳)尸耳)=0.1 x 1+0.2 x z=O=0.81.例1.30：有5件产品，次品的比例为20%,从中抽查2件产品，没有次品则认 为合格，问合格的概率？解：5件产品，次品的比例为20%,即有4个合格品，1个次品。4=06例1.31：有5件产品，每件产品的次品率为20%,从中抽查2件产品，没有次 品则认为合格，问合格的概率？解：令A-合格，与一一5个产品中有i个次品。i=0,1,2,3,4,5.5尸=2尸（与）尸与）z=Or1其中，尸（耳）=qx0.2zx0.85-S 尸与）=告=0,1,2,3.G3尸=尸（与）尸与）=0.64.z=0另解：正品率=0.8,0.8X0.8=0.64.（7）贝叶斯公式设事件B2,&及A满足1 5i,B2,以两两互不相容，P（历）0,z=l,2,，nAc=l Bi2 Y,尸(A)。,则P（BJA）=nP（B，）P（A/B）,j 2,n。fp（Bj）P（A/Bj）J=I此公式即为贝叶斯公式。P（Bj,（，=1,2,，n）,通常叫先验概率。P（B.|A）,（，=1,2,，n）,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔 因”的推断。例1.32：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过3件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概 率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为 该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有进=0,123）件次品的概率。解：尸（线恒）=生竺口=吐1其他类似可求）01 P（A）0.81例1.33：发报台以概率0.6和0.4发出信号“”和“一”，由于通信系统存 在随机干扰，当发出信号为“”和“一”时，收报台分别以概率0.2和0.1 收到信号“一”和“求收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率。解：记A-发出信号“”，A 发出信号“一”,B-收到信号“”，B 收到信号“一，则有P(A)=0.6,P(A)=0.4,尸(同A)=0.2尸(5 R)=0.1.所求为尸（A忸）P(A)P(B|A)_ P(A)P(B|A)P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(B|I)0.6x0.80.6x0.8+0.4x0.1 13”=0.923.例1.34：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生 的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出 两份，(1)求先抽到的一份是女生表的概率夕；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率*解：记A,一取到第z地区的报名表，Bi-先取到女生表，B2-后取到女生表.137 S 9Q(1)p=m)=Emm|4)=-(-+-+-)=-：(2)所求为尸同瓦)=勺券 61由摸彩模型知：夕(4)=。(与)=1夕(四)=90而对尸(片瓦)，考虑把四瓦看作一个事件，再用全概率公式，3 I,I 1 2|39 15 14 25 24 9从而得：尸闻瓦)=P(吧)=啰.1 P(B2)61解题要点：全概率和贝叶斯公式解决的问题都是可分为两个阶段的随机过程。若求第二阶段某一事件的概率，用全概率公式；若已知第二阶段某结果，求 第一阶段某事件的概率，则用贝叶斯公式。贝叶斯公式所求的是条件概率后验概率。摸彩、抓阉模型不考虑中间过程，简化了全概率公式。对于较复杂的事件，学会用恰当的字母、符号去表示这些事件，以便利用 概率法则解决问题.(8)伯努利概型我们作了 次试验，目满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1-P=%用P(k)表示重 伯努利试验中A出现%(几)次的概率，p(k)=c：pkq，k=0,1,2,，几。例1.35 一枚硬币抛5次，求恰出现3次正面、2次反面的概率。P(A)=Cf(1)3(l-1)2=Cj(1)5.)注：伯努利概型应用情形：只知次数，不知位置(本质特征)。例：袋中装有。个白球及尸个黑球，从袋中任取+8次球，每次放回，试求其 中含a个白球，个黑球的概率QaGa,bGQ。9 上|口-丫)a+ya+/3)(a+例1.36：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例1.37：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p,则在成功2次之 前已经失败3次的概率为：A.4P2(1 p)3 B.4p(l pT C.10p2(l p-D.p2(l-p)3 E.(1-p)3分析：共试验了 5次，且第5次一定成功。即在前4次试验中恰1次成功。y/(l-P)3P=4p2(l-p)3例1.38：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3,并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人 下车的概率。(300.330.77)例1.39：某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6,问连续抛5次,至少有4次 朝上的概率。f 0.65+0.64-0.4-C例L 40：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐(取名“甲 罐”)内的红球数与黑球数之比为2：1,另一罐(取名“乙罐”)内的黑球数 与红球数之比为2：1。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154 倍(B)254 倍(C)798 倍(D)1024 倍 解：令A“30只红球，20只黑球”.所求即为尸甲用()P(A)川甲)尸(乙乙/()P(A|)P(A)注意：这里取球虽然是无放回的，但由于有“大量”的球，可以看作是有放回的,即利用伯努利概型来计算两个条件概率。即有 P（川甲）=2；第手?乎。，P（川）C（|）20（|）30-210 1024.解题要点:注意互斥与独立的关系一一矛盾;若P（则的函斥不独立；碘立不加B A,B n A,5若或A）则凝任何事非都独立；与任何事件都互厘）两两独立与相互独立的关系；独立性用乘法计算交集）；减法与交的关系：A-B=AB；伯努利概型的特征一一只知次数，不知位置。注意：与任何事件都互斥且独立；祈僚于 P（AB）=O.注：第一章是后面内容的基础，是考核的难点，但不是重点。二、历年试题分析：（02年）1.设人方是任意二事件，其中。刀（/）lo证明:P（B|A）二P（B|A）是力与夕独立的充分必要条件。证明：（必要性）独立nP（A5）=P（A）P（8）nP(5|A)=P(AB)尸P(A)P(B)尸=尸，同样可得 P（B|A）=P（B）.(充分性)P(BA)=P(B|A)N P(B|A)P(A)P(A)=P(B|I)P(A)P(A)即 尸(A5)尸(力=P(AB)P(A)n P(AB)1-P(A)=P(B)-P(AB)P(A)n P（AB）=P（A）P（B）.（03年）1、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：4二掷第一次出现正面,4二掷第二次出现正面，上二正、反面各出现一次，上二正面出现两次，则事件（c）（A）相互独立。（B）&，&，人4相互独立。（O 两两独立。）&,4，4两两独立。分析：易见4,4显然不独立互斥，排除（B），（D）.又 尸（A）=尸（4）=尸（4）=；,尸（444）=0，故排除（A）.2.对行任意二事件力和民 B）（A）若ABW,贝U4方一定独立。（B）若ABW,贝1儿夕有可能独立。（C）若AB二,则48一定独立。（D）若/庐贝IJ4 6一定不独立。注意：对概率不为0的事件4,5 4,5独立玉独曲;4。5=中=45（05年，4分）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,X中任取一个数，记为丫，则尸出=2=1|。分析：利用全概率公式，P（Y=2）=P（X=l）P（y=2x=1）+P（X=2）P（y=2x=2）+尸（X=3）尸（y=2|x=3）+尸（X=4）尸（y=2|x=4）=；（0+g+；+；）=.（06年，4分）设A,5为随机事件，且尸0,P（A|B）=1,则必有（C）（A）P（AUB）P（A）（B）P（A U B）P（B）（C）P（AUB）=P（A）（D）P（AUB）=P（B）解：尸（A忸）=今箸=lnP（AB）=尸（B）nBuA（07年4分）1.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(Oyvl),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3p(lp)2.(B)6p(lp)2.(C)3P21p)2.(D)6P2(1p)2.C 分析：”第4次射击恰好第2次命中目标”表明“第4次命中目标且前3次恰命 中次”.，=C：p(l_p)2P=3p2(l p)2.2.(4分)在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于;的概率为 3工.分析：该题是典型的面积型的几何概率.第二章随机变量及其概率分布考试内容随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分 布连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的概率分布 随机变量函数的概 率分布考试要求1.理解随机变量及其概率分市的概念.理解分布函数F(x)=PXSx(一8 vxv+8)的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01分布、二项分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其取用.3.了解泊松定理的结论和反用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 N(u,。)指数分布及其购用.5.会求随机变量函数的分布.一、主要内容讲解1、分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aX 4b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(向的概率。分布函数尸(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x)1,-oo x +oo；2 方(x)是单调不减的函数，即时，有F(xi)g).解：XV*表示事件“所投点落在半径为x的圆内”，几何概率0,x 0;JTY2 Y2故尸(1)=尸(乂 Vx)=-=,0 xr.从而 P(X y)=l-P(X y)=l-(|)22、离散型随机变量的分布设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=l,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布列或分布律。有时也用分布列的形 式给出：X|Xl,X2,Xk,尸(X=Xk)pi,p2,，P 上,。显然分布律成满足条件：P/O，ZP，=L与分布函数的关系：F(x)=p；xtx例2.2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(3)为“取白球的数”，求X的分布律和分布函数.解：x(0)012D42 42 4r665654例2.3：给出随机变量X的取值及其对应的概率如下:x 12水，7 1 T.铲3r判断它是否为随机变量X的分布律。不是例2.4：设离散随机变量X的分布列为X 10,1,2y 1 1 1 1?一，-9-9 8 8 4 21 3 3求X的分布函数，并求尸(XVg),P(1 X -),P(1 X -)o例2.5掷两颗骰子，观察其点数，则f1=(1广):光广=12-，6。记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数求X、Y、Z的分布。注：可利用古典方法求其概率。问题：如何由分布函数求分布列？0,x -1;,.t、口.0.2,1V 犬 0;例2.6：设本的随而列 X0.5,0%1.注意：离散型随机变量分布函数的特征一一右连续阶梯状.左闭右开3、连续型随机变量的分布 设方(九)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/(九)，对任意实数3有F(x)=P f(x)dx J-00,则称x为连续型随机变量。/(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有性质：1。f0o件00f f(x)dx=lZ J-ooX与分布函数的关系：/(%)=J/(X)6?X 注：在尸(X)的可导点处有尸G)=/(x)与附电的密度函数不街口).尸(X/?)=P(X=X)=O.连续型随机变量的分布函数一定连续(-00%+00).例2.7：设随机主量X的概率密度为%G 0,129/(%)=x e 3,6其他7其使得尸(X 2左)=1 则k的取值范围是 1,30,x0尸(X 2左)=nP(X 左)=g解：利用分布函数，方(x)=g,1 x V3,n P(X k)=(n F(k)=；一 x ,3x 6lk3.注意：X的可能取值范围是OJU3,6.密度函数分布函数？当时,x 3 b(x)=7(x)dx=1+1当陆xV6/(x)=f+f+.另解：利用密度函数的图形与概率的关系较容易解决。4、离散与连续型随机变量的关系P(X=x)P(x X x+dx)R f(x)dx积分元/(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与尸(X=*)=%在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。例2.8难：设随机变量X的绝对值不大于1,BP|X|C1,且p(X=-1)=1,尸(X=l)=l,在事件TX1出现的条件下，X在(-1,1)内的 8 4任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求X的分布函数F(x)及P(X0)即X取负值的概率)。解：取的任意子区间(-1,幻,-1兀1,则有P(-1X x)P(-1X 1)=攵(x+1).而 尸(一1X 1)=1尸(X V1)尸(X 21)=1；：=所以 P(-l X x)=-k(x+V),-1 x 1.80,x -1;从而 F(x)=Jp(X-l)+P(-lX x)=-+-(x+l),-lx 1.又尸(X=x)=P(X VJI)尸(X%)=/(无)尸(尤0,从而有尸(X=1)=尸(1)一尸(1_0)=；=1_、左(1+1)_；0左=3或者,p(x=x)=p(X x)=p(-lX x)+P(X=-l)=lx-+-,(-lxl)几何I既率 2 8 8即得F(x)=0（%+1）+16v 7 81x 1-1 X 11 X注：这里X是混合型的随机变量，其分布函数图形如下所示5、八大分布0T 分布 P（X=l）=p,P（X=O）=q二项分布在重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p事牛A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,出。尸(X=k)=Pn(k)=C；pkq-k,其中=1 p,0 P 0,左=0,1,2，则称随机变量X服从参数为2的泊松分布，记为X粗或者P(X)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=X,n-8)例2.9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001,若独立地射击5000次,试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。Xb(5000,0.001)近似P(5),5000 升，尸(X 22)=Z-=1-P(X=0)-P(X=1)=l-6e-5)例2.10：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没 有汽车通过的概率为0.05,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多 少？储6一解：P(X=k)=-，尸(X，2)=1尸(X=0)P(X=1)尸(X=0)=-=0.05n4=3nP(X 2 2)=0.8超几何分布 从一个有限总体(N个产品，其中M个是不合格的)中进行不放 回抽样(任取n个)，取到的不合格产品的个数X的分布称为超几何分布，其分 布列为：【注】当nN时，可近似看作是有放回抽样，可以用二项分布近似。随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。(背景)概率模型：M个白球，N-M个黑球。从中取出n个球，有k个白球的概 率。例2.11(1)：袋中装有a个白球及万个黑球，从袋中任取Q+万个球，试求其中a r b含个白球，h个黑球的概率上/例2.11(2)：从袋中先后取Q+6个球(不放回)，试求其中含。个白球，h个黑球的概率(a&a,bm。勺+匕 注意：先后不放回与任取是一样的。几何分布 在试验中，记p为事件A在一次试验中出现的概率，X为首次出现A 时的试验次数，则X的可能取值为1,2,，称X的分布为几何分布，记为X Ge(p),其分布列为：尸(X=攵)=(1 p)ip#=l,2,例2.12：袋中装有a个白球及尸个黑球，从袋中先后取+6个球(放回)，试求直到第。+6次时才取到白球的概率Qa&a,b&B)分析：即前1+。-1次取到的都是黑球直到才)、a+B)a+/3例2.13：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(s)为“抽 取次数”，求X的分布律。(P(X=O=1|左=0,8)注：朝一目标射击直到射中为止所需射击次数等都是服从几何分布的。几何分布的的无记忆性设X服从Ge(p),贝IJ对V机Z+,有尸(X 机+|x 二尸(X).均匀分布设随机变量x的值只落在E,b内，其密度函数/()在E,b上为常数-b-af 1 7日n z、；，axb；即 p(x)=b-a0,其他.则称随机变量x在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)o0,xarv、xa ,7r(x)=-,Q xb.当Q VX V6时，X落在区间(xpx2)内的概率为尸=几何概率)ba例2.14：若随机变量X服从1,6上的均匀分布，求方程旷+Xx+l=0有实根 的概率。4分析：方程有实本艮，BP A=X2-40P(X2-40=)-.指数分布2e-Ax,x0/(x)=4o,其他.其中丸。，则称随机变量X服从参数为2的指数分布。尸=1 40为参数.0,x0.+00记住积分公式：xnexdx=n,(n G Z+)o指数分布的无记忆性：P(Xs)=P(Xs+八X。例2.15：设非负随机变量X的密度函数为/(x)=A,x0,则A=o工 2 工 2 g分析：1=A了dx=8A(三)万(5)=8A血力=8A x 3!=48A正态分布设随机变量X的密度函数为%=（X-/）2,_e 2cr2 飞 271b-00 X 0为常数，则称随机变量X服从参数为4、。的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 XN(,b)。“X)具有如下性质：1/()的图形是关于元=对称的；2 当=时，/()=：为最大值；在。若XN(,/),则x的分布函数为%IF(x)=/f e 出,-oo x +oo个2兀o 00参数4=0、。=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN（0,l）,其密度函数记为1 _Q（px=e 27 2兀,-co x +co,分布函数为（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-x）=1-（x）且（0）=1。2标准化公式及其应用：（正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布如果 XN（,CF2）,则上幺N（0,1）。a尸I x*）=年N-口、。例 2.16：设XN(,CF2),求尸(lx130)。20(3)1)例 2.17：XN。之)且 P(2X4)=0.3,则 P(XO)=?(0.2)分析：方法一：利用标准化公式尸(2 X 4)=尸(0 U 2)=0(-)-(0)=0.3 n(2)=0.8 o o b2 2 2P(X 0)=P(U )=p(u一)=1_(一)=0.2.a a a方法二：利用图形的对称性P(0X 2)=P(2X 4)例2.18：若有彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为0.01。现配备三个修理工人，每人分块包修30台，求设备发生故障而无人修理的概率。若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而无人修理的概率是多少？解：(1)记从一第i个人的设备发生故障而无人修理，i=l,2,3.X,第i个人的设备发生故障的台数。尸(A+A2+A3)=1-尸=1-尸(%)尸()尸(%)=0.1067.其中，P(A)=P(X.0)的均匀分布，且P(0X4)4=-,求：2(1)X的概率密度(2)P(1X5)3-/7 1 h-4 1解：P(0X4)-=n4=2/=6.b-a 4 b-a 2例 2.20：X,Y 独立，均服从 A=XW。,B=Ya,已知 P(AUB)二9，9求Q二？n 1解：尸(A)=P(B)=,且热应.P(A U B)=P(A)P(B)-P(A)P(B)=|.例2.21：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从指数发布，其密度函数为1-/=铲5/00,x 10)p=P(X 10)=f(x)dx=e-2.例 2.22：X3N(1,72),则 P(1X2)=?1 _ i Y3 _1 Q _ 1解：P(1X2)二尸(1 X3 8)=P(-/)=0(1)-(0)=(1)0.5注：若要计算尸(1X22),则可化为P(-V2 X-l)+P(lX V2)=P(-V8 X3-l)+P(lX V8)6、分位数定义：设X的分布函数为F(x),密度函数为p(x).对VpwQl),称：满足尸(4)=p(x)dx=p的4为此分布的p分位数(或下侧p分位数)；满足1一b(储)=p(x)公=的4为此分布的上侧p分位数。如下图所示:注：/二再一p；Xp=l-p(下侧)分位数设XN(0,l),X的p分位数记为4,则勺=3),即是分布函数的反函数,如：4()95=L96.且易知:当p 0.5时，up 0.5时，up 0;当p1 p2时，uPi up对Vp,4P=_%_ o而对一般的正态分布XN(。2),利用标准化公式，X的p分位数与是方X LI X LI程-):p 的解 n-.=n x=+叫.a a(04)：设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的。(0。ua=a,若尸|x|x=。，则元等于(C)(A)%(B)(C),(D),1-2 2 2注意：这里是上侧分位数。解题要点：求分布函数或分布列即是计算概率；求分布函数的时候首先要确定随机变量的可能取值范围;理解各种分布的背景和主要特征；注意随机变量和随机事件的转化(等价性)。7、函数分布离散型：已知X的分布列为X Xl,JV2,Xn,尸(X=Xi)pi,P2,，pn,y=g(X)的分布列(y=g(七.)互不相等)如下:yg(xi),g(M，,gO),尸左)pi，P2,P,若有某些g(W相等，则应将对应的P”.相加作为g(Xi)的概率。例2.23：已知随机变量X的分布列为P p,pq,pq2,，pq 其中p+q=l。求丫=51!1乂的分布列。解：Y10ipq3ppqP1-/i-q?i-/连续型：先利用X的概率密度/x(x)写出Y的分布函数，耳=P(Y y)=P(g(X)Fx(x)=P(X P(Y y)=3(y)对y求导 pY(y)例2.24：已知随机变量X f(x)=“1 v,求/=2X+3的密度函数力(y)。x(l+x)f-1口-潞 Y的可能取值范围例2.25、设随机变量X的密度函数为px(x)=/,肛，0,其他.求Y=sinX的密度函数pjy).解：Y=sinX的可能取值在区间(0,1)内，瞅当yAl或y V0时,pY(y)=0；当Ovyvl时，使Wy的x的取值在两个互不相交的区间，如下图Ax(y)=0,玉=0,arcsin y,A2(y)=x2,=