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数学思想方法的意义、分类与教育价值

作者:南京晓庄学院数学与信息技术学院 张德勤 录入时间:2014-7-10 阅读次数:654

摘 要：数学思想方法是“缄默知识”，它属于数学知识的范畴，是当代认知心理学以及哲学对知识内涵及性质研究的结果。数学思想方法可作如下分类：与一般哲学的（包括逻辑的）思想方法相应的数学思想方法；与一般科学思想方法相应的数学思想方法；数学中特有的思想方法。在数学教学中渗透数学思想方法有利于学生形成良好的认知结构，有利于教师以较高的观点分析处理教材，帮助学生科学地思考问题，探索规律，发现解决问题的途径。

关键词：数学思想方法 意义 分类 价值

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标中提出了“四基”，即“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学知识、基本技能、基本思想、基本活动经验” 。在“数学思考”的二级目标中进一步强调“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”

此外，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在数学学习目标中出现的与“知识技能目标”并列的“过程性目标”，即让学生“经历（感受）、体验（体会）、探索”数学活动，从而更好地体现学生在数学思想、解决问题以及情感态度方面的学习要求。如何使以上行为性的过程目标得以实现？如何使学生获得有意义的数学学习？如何使学生掌握学习的方法和策略，提高学生的“元认知”水平？要解决这些问题，教师主动学习和掌握“数学思想方法”，自觉提升数学思想方法素养，善于提炼教材中所蕴涵的数学思想方法的因素，有意识地在小学数学教学过程中渗透数学思想方法，并引导小学生应用数学方法解决实际问题是解决上述问题的关键性的因素。

一、数学思想方法属于数学知识的范畴

不同学科对于知识有着不同的分类标准。20世纪50年代英国哲学家波兰尼在研究知识的性质时，根据知识的形态，将知识分为“显性知识”（explicit knowledge）和“缄默知识”（tacit knowledge）。“显性知识”即用文字、语言明确表述的知识，“缄默知识”指那些不能系统表述、“可意会不可言传”的知识。认知心理学家为了研究人类的心理机制，根据知识的表征的类型将知识分为“陈述性知识”（declarative knowledge）和“程序性知识”（procedural knowledge）。“陈述性知识”是可以用文字来描述的事实状态的知识，例如关于整数的运算性质；“程序性知识”是关于人如何操作的知识，例如关于如何根据问题情境选择相应的解决问题的方法的知识，即认知策略。

根据以上标准，在数学教学研究中，人们将数学知识划分为“概念性知识” （conceptual knowledge）和方法性知识” （methodical knowledge）。“概念性知识”被定义为“有联系的网络”，是指那些关系丰富的知识，只有它是网络的一个部分才被称为概念性知识，它明明白白地写在书本上；“方法性知识”是指一系列的动作系统，它看不见、摸不着、隐藏在书本的知识之间。因此，数学知识可以界定为“数学中的概念、性质、法则、公式、定理、公理以及由其内容反映出来的数学思想和方法”，而数学技能则界定为“按照一定的程序与步骤进行运算、推理、处理数据、画图、绘制图表等”。

显然，小学数学教师的数学知识素养，不仅体现在他所具备的明确性的数学知识上，即掌握“算术”“代数”“几何”“三角解析几何”“集合论”“微积分”“概率论”“数理统计”等学科的那些陈述性知识体系的掌握上，而且要掌握数学的思维策略，比如在解决数学问题时如何思考的知识。即掌握必须的数学思想方法和必要的数学基本技能这些默会性、程序性知识。

把数学思想方法归入数学知识的范畴，反映了当代认知心理学以及哲学对知识内涵及性质研究的最新发展，具有先进性，这就使数学知识的形成和发展达到了统一，即应该将数学知识看作是由理论、方法、问题、语言和观念等多种成分所组成的一个多元的有机统一体，将数学知识与其产生的过程作为一个整体来认识，才能反映数学教与学的本质。对于“方法性”知识，作为一种“可意会不可言传”的知识，教师可以通过设置适当的问题情境，学生让“自主探索、动手实践、合作交流”，动脑思考，去领悟“数学思想方法”，这就是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中所倡导的“创设问题情境”的目的之所在。[2]

二、数学思想方法的意义与分类

“方法”本是一种原概念，如同“直线、平面”等概念一样，不能逻辑地加以定义，只能粗略地描述。在我国古代《墨子·天志》中，将“方法”释为“度量方形之法”，所谓“法”，是一种“标准”和“规则”。英语词汇“method”译作“方法”，它来自希腊语，原意指“沿着正确的道路运动”。通常认为，“方法”是人们在认识世界和改造世界的过程中，在思考问题和解决问题时，采用的方式、途径手段、工具、规则或程序，因此，数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。

“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的“反映”，数学思想是人们对数学研究的统一的本质性的认识，是对数学规律的理性认识。

“思想”和“方法”有着密切的关系。思想是对事物或规律的认识，方法则是认识事物或规律的过程和手段。数学思想和数学方法也有着密切联系，比如，“极限”用它去求导数、求积分时，就称为极限方法；当讨论它的价值研究有限与无限的矛盾转化时，就称为极限思想。“思想”和“方法”有时很难分开，数学本身就是一种方法。英国数学家M·克莱因在他的科学巨著《古今数学思想》中，将数学思想数学方法不加区分，从数学家的思想贡献与文化价值的角度去考虑，将方法纳入思想的范畴。

“小学数学思想方法”是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。按研究层次不同可作如下分类：（1）与一般哲学的（包括逻辑的）思想方法相应的数学思想方法：如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；（2）与一般科学思想方法相应的数学思想方法：如试验法、图表法、假设法等；（3）数学中特有的思想方法：如化归法、递推法、列举筛选法、公理化方法、关系映射反演、数形结合等。

三、数学思想方法的教育价值

（一）有利于深刻地认识数学教学内容

数学从其萌芽状态逐步发展到今天这样严密的演绎体系，是几千年来数以万计的数学家共同努力而留给后人的精神财富。学习、研究于运用数学思想方法有利于我们深刻认识与理解数学的内容、方法与意义。因为从数学的各个分支中提炼和总结的数学思想方法，实质上是学习和研究数学的方法与进行数学活动的方法，只有掌握了隐含在知识体系中的思想方法，才能从整体上深刻地理解数学，正确地运用数学。

（二）有利于提高学生的数学素养

数学素质教育包括知识观念层面、创造能力层面、思维品质层面、科学语言层面四方面。简单概括为数学意识、问题解决、逻辑推理、信息交流。掌握数学思想方法能增强学生的数学素质。因为数学知识是有形的，思想方法是潜在的。数学知识离不开数学思想方法。知识面广量大，是无论如何也学不完的，但思想方法是有限的几十种，如能掌握，则终生受用。因此，在数学教学中加强数学思想方法的教学，把过程的数学放在主要位置上，就能充分揭示知识的发生过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的抽象概括过程等，使学生学会正确的思维，提高发现和发明能力，促进数学素质的增强与数学能力的发展。

（三）有利于对学生进行美育渗透和辨证唯物主义的启蒙教育

数学美的主要特点是有序性、简明性、对称性和统一性。在数学教学中加强数学思想方法的教学有利于对学生进行美育渗透。如符号化思想就体现了简洁美，综合法与分析法体现了有序美，数形结合的思想体现了统一美等。教师要善于把握数学思想方法中蕴含的美育因素，精心挖掘，相机渗透。

数学思想方法的教学还有利于对学生进行辩证唯物主义启蒙教育。比如，圆面积公式教学中采用“化圆为方”“化曲为直”的极限思想，通过“观察有限分割”“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势想象它们的终极状态，不但使学生掌握了知识，而且进行了“变与不变”“曲与直”“近似与精确”“有限与无限”“量变与质变”等辩证唯物主义启蒙教育。

（四）有利于教师以较高的观点分析和处理小学教材

在小学教学教材中有两条线：一是数学知识，它明明白白地写在课本里，是有形的；二是数学思想方法，它是渗透在知识体系中的，是潜在的。教师如果掌握了数学思想方法的知识，了解它们在教材中是如何渗透的，就能明确教材为什么这么编写，就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的观点分析教材和处理教材，科学地、灵活地设计教学方法，提高课堂教学效率。

例如，《圆的周长》教学中数学思想方法的渗透。教学过程如下：

1. 复习：

(1)什么是圆？圆的直径和半径的长度有什么关系？

（2）什么是正方形的周长？怎样计算正方形的周长？

2.类比：围成圆的曲线的长叫作圆的周长。

3.演绎：由正方形的周长意义，得出：正方形的边长越大，周长越长；

正方形的周长总是边长的4倍。

4.类比猜想：圆的直径越大，圆的周长越长；

圆的周长是圆的直径的多少倍？

5.实验：各人量出自己所带的物品上圆的周长和直径，记录圆的周长和直径，计算圆的周长是直径的多少倍。

6.归纳：圆的周长总是直径的3倍多一些。这个倍数叫作圆周率。

7.符号化：圆的周长公式C=πd。

再如，“分数能否化成有限小数的规律”，教学过程如下：

1.研究事例。

出示“把3/10，67/100，49/1000化成小数”，让学生归纳出分母 10，100，1000……的分数化成小数的法则。潜移默化地渗透“归纳”和“演绎”的思想。

再出示“把3/4，7/25，9/40，2/9，5/14化成小数（除不尽的保留三位小数）”，引导学生研究以下问题：

分数化小数时，有哪几种情况？（渗透“分类思想”）

一个分数能不能化为有限小数取决于它的哪一部分？怎样取决于分母呢？（渗透合情推理）

2.提出猜想。

通过以上引导讨论，学生提出如下猜想：一个分数如果分母中含有2和5，不含其他的质因数，那么这个分数就能化成有限小数。”

3.检验猜想并修改猜想。

一个最简分数，如果分母中除了2和5，不含其他的质因数，它就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，它就不能化成有限小数。

4.论证猜想。

以上的教学过程是以归纳推理为主要的形式得出猜想，具有或然性（如开始的“提出猜想”）。为此，教师向学生提出：“为什么分母只含有质因数2或5的最简分数能化成有限小数而分母含有2和5以外的质因数的最简分数，就不能化为有限小数？”

上述教学过程中，教师有意识地挖掘渗透在知识体系中的数学思想方法，运用数学思想方法展开知识的形成过程，帮助学生科学地思考问题，探索规律，发现解决问题的途径。这样处理教材，有利于学生更好地理解与掌握相关 数学内容，有助于学生形成良好的认知结构。

日本数学教育家米山国藏指出：“学生在学校接受的数学知识，通常在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、思想、方法却能随时随地发挥作用，使他们终生受益。”]我国古人也说：“授人以鱼不如教人以渔”。所以，一堂真正具有思想深度的数学课，留给学生是心灵激荡的数学思考和长久受用的解决问题的数学方法，这是研究与学习数学思想方法的价值之所在。

参考文献：

[1] 吴庆麟.认知教学心理学[M].上海科学技术出版社，2000：199，206

[2] 张德勤.小学数学教师的文化素养与教学技能[M].北京：北京师范大学出版社，2005

[3] 金成梁.小学数学课程与教学论[M].南京：南京大学出版社，2005

[4]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，等，译.成都：四川教育出版社，1986