轴心受压构件的弯曲屈曲.pptx

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲,2.1,概述,2.2,轴心受压构件的弹性弯曲屈曲,2.3,轴心受压构件的大挠度弹性理论,2.4,轴心受压构件的非弹性屈曲,2.5,初始缺陷对轴心受压构件的影响,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.1,概述,轴心受压构件的失稳形式,弯曲失稳：,某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。,双轴对称截面,扭转失稳：,扭转变形迅速增大而丧失承载力。,十字形截面,弯扭失稳：,单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心,不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。,单轴对称截面，无对称轴截面,弯曲屈曲是确定轴心受压构件,稳定承载力的主要依据。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,荷载位移曲线,1-,小挠度理论,(,弹性,),2-,大挠度理论,(,弹性,),3-,有初弯曲时,(,弹性,),4-,有初偏心时,(,弹性,),3-,有初弯曲时,(,弹塑性,),4-,有初偏心时,(,弹塑性,),2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.2,轴心受压构件的弹性弯曲屈曲,1,）理想轴心压杆的欧拉临界力,基本假定：,（,1,）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；,（,2,）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；,（,3,）材料具有线弹性，符合虎克定律；,（,4,）符合平截面假定；,（,5,）小变形假定：,弯曲曲率：,2轴心受压构件的弯曲屈曲,按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体,并建立平衡微分方程：,杆件处于临界状态时，内外弯矩,相等，即,令 ，得：,此常系数二阶齐次微分方程的通解：,A,B,为待定系数，由边界条件确定。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,由边界条件得：,（,1,）则,（,2,）,由此可得临界力公式为：,与之对应的挠曲线为：,（,m,=1,，,2,，,3,，,），,即,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,临界力和屈曲形式,轴向压力,横向挠度,最低的临界力即为欧拉临界力,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,挠曲线,当,m,=1,时,P,最小，对应的挠曲线方程为 ，为正,弦曲线的一个半波；当,x,=,l/2,时，,y,=,v,0,，,A,即为跨中最大挠度,v,0,，故有 。,杆件可在任意,v,0,值的弯曲状态下保持平衡。,轴向压力,横向挠度,v,0,为不定值，在小变形假设的前提下，,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程）,对于,两端为任意支承情况时，,由脱离体的平衡得：,对上式求导两次可消去等式,右端的杆端约束力：,令 ，得,此微分方程与杆端约束力,无关，故能代表各种支承情况，,称,压杆屈曲的高阶微分方程,。,P,P,P,P,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,方程的通解为：,其各阶导数为：,A,B,C,D,为待定系数，由边界条件确定。,各支承情况的边界条件：铰支：,固支：,自由端：,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,两端固定的轴心压杆,边界条件：,线性齐次方程组：,为使关于,A,、,B,、,C,、,D,的齐次方程组有非,0,解，则其系数行列式应为,0,。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,则,由此得 或,（,1,）求解第一式,临界力：,（,2,）求解第二式,（为超越方程，需采用数值解法或图解法）,在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点,即为方程的解。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,取相交点的最小值，得,即,结合上述两式的解，取小值，,得两端嵌固杆的临界力为：,使方程有非,0,解，满足,=0,的,k,值称为,特征值,，因此,解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。,与,k,值对应的,y,(,x,),为,特征函数,或,特征向量,，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。,=0,为,特征方程,，因,P,cr,由,=0,求得，故又称为,屈曲方程,。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,一端铰接、一端固定的轴心压杆,边界条件：,线性齐次方程组：,为使关于,A,、,C,的齐次方程组有非,0,解，则其系数行列式应为,0,。,力学边界,几何边界,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,展开得,即,上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解,临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：,（,最小特征根,）,即,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,3,）轴心受压构件的计算长度,对其他约束情况，,P,cr,同样可由高阶微分方程计算，如：,两端铰支：,一端固定一端自由：,一端固定一端平移但不转动：,可统一表示为：,l,0,称计算长度，,为计算长度系数。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,讨论,l,0,的实质,由曲率方程有：,若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为,z,1,、,z,2,，,即：,和,代入上式得关于待定系数,A,、,B,的线形齐次方程组,即应有,展开得：,即,令 ，得 ，解得最小值,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,由此得到与欧拉临界力相同的算式：,l,0,的实质为点,z,1,、,z,2,之间的距离，因这两点弯矩为零，亦,即曲率为零，故为反弯点。,l,0,实际上相当于,相邻两反弯点处切,出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.3,轴心受压构件的大挠度弹性理论,1,）大挠度方程,构件弯曲曲率与变,形的关系：,两端铰接轴压杆大,挠度方程为：,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,）讨论,（,1,）,当,P,P,E,时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳,定平衡状态；,（,2,）当,P,P,E,时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡,状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确,定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍,处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与,挠度关系；,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,3,）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界,荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠,度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳,定平衡状态的分枝点；,（,4,）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达,到构件长度,3%,以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹,塑性状态，出现下降段。因此,轴心压杆的屈曲后强度,不能被利用。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.4,轴心受压构件的非弹性屈曲,欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应,力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。,临界长细比,弹性失稳和弹塑性失稳的分界点,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,1,）切线模量理论,由德国科学家恩格塞尔（,Engesser,）在,1889,年提出。,基本假定：,在弯曲时全截面没有出现反号应变。,达到弹塑性失稳荷载,P,t,后，,构件微弯时荷载还略有增加，,而且增加的平均轴向应力正好,抵消因弯曲而在,1,1,截面右侧,边缘产生的拉应力。,即：,凹面压应力增加为,max,；,凸面压应力增加量正好为,0,。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,作用,于,1,1,截面,上的压力为：,作用,于,1,1,截面,上的内力矩为：,全截面对形心轴的面积矩为,0,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,任意,截面,i,上,的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：,代入前面推导得到的轴力和弯矩，则,求解微分方程，得：,其中,Pt,和,E,t,均为未知，需要迭代求解。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,）双模量理论（折算模量理论）,由德国科学家恩格塞尔（,Engesser,）在,1895,年提出。,基本假定,：,（,1,）,在弯曲时全截面出现反号应变；,（,2,）压杆屈曲时压力保持不变。,弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；,即：,凹面为继续加载区，,凸面为卸载区。,加载区变形模量为,E,t,；卸载区变形模量为,E,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,作用,于,1,1,截面,上的压力变化值为：,由于屈曲后压力保持不变，因此,则 即,由上式可以求出中性轴的位置。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,1-1,截面上的内力矩：,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,任意截面,i,上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：,即,求解微分方程，得：,其中 为折算模量，与,E,E,t,和截面形状有关。,P,t,小于,P,r,，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明,P,t,更接,近试验结果。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,3,）,Shanley,理论,Shanley,于,1947,年设计了,Shanley,模型来解释试验值更接,近切线模量理论。,力学模型,：,（,1,）模型有三部分组成：,两根,l,/2,长的刚性杆,和中间连接的弹塑性铰；,（,2,）弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；,（,3,）铰的,-,曲线是折线。,弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,铰的弹性模量为,E,，切线模量为,E,t,，铰的肢长为,h,，肢距为,h,，每肢面积为,A,/2,；,当,P,达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变,为,1,和,2,，两肢变形如图；,杆端转角：,跨中挠度：,0,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,若弯曲凹面和凸面的变形模量为,E,1,和,E,2,，则因屈曲而产生,的内力,P,1,和,P,2,：,铰处的内弯矩：,铰处的外弯矩：,由内外弯矩平衡得：,0,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,讨论,（,1,）当构件在弹性状态失稳时，即,E,1,=,E,2,=,E,，则：,（,2,）当构件在弹塑性状态失稳时，按切线模量理论，,E,1,=,E,2,=,E,t,，则：,显然，若,E,1,=,E,2,=,E,t,，则,P,2,必为受压，即,2,必为缩短，,2,0,因压力增量,亦即当,2,0,时，,P,0,。若要,P,=0,，只有,1,=,2,，即,d,=0,。说明,切线模量荷载,P,t,是压杆保持平直状态时的最大压力；是杆件,开始屈曲时的最小压力,，亦即在发生弯曲时压力必须增加。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,3,）当构件在弹塑性状态失稳时，若,1,2,，,亦即,d,0,，要,P,=0,，则必须有,E,1,1,=,E,2,2,，,且,E,1,=,E,t,，,E,2,=,E,，则：,其中：是,Shanley,模型的折算模量。,由比较可知,E,t,E,r,E,，因此,P,t,P,r,E,t,，故,P,r,P,t,，,P,r,是压杆屈曲后的渐进线，实际上,是达不到的，即,P,t,P,P,r,；,（,3,）实际的,E,t,随,P,t,的增加而减少不是常数，因而曲线下降。,P,P,r,P,t,d,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.5,初始缺陷对轴心受压构件的影响,初始缺陷,几何缺陷：,初弯曲、初偏心,力学缺陷：,残余应力,1,）初弯曲的影响,假设初弯曲形状为正弦半波，跨中,最大初挠度为,v,0,，即：,内弯矩：,外弯矩：,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,由两端铰接杆的失稳变形可知，增加,的变形也为正弦半波曲线：,由内外弯矩平衡得：,即 ，则,跨中总挠度,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,施工验收规范规定柱的,最大初始挠度为,l,/1000,讨论,（,1,）,v,与,v,0,成正比，与,P,是非线性关系，当,P,=0,时，,v,=,v,0,0,；,（,2,）当,P,P,E,时，,v,，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠,度与,v,0,无关；,（,3,）,相同压力下，初弯曲,v,0,越大，,杆的挠度越大。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,4,）跨中挠度,v,可理解为逐级发展过程（共轭梁法）,跨中挠度：,v,1,引起的附加弯矩产生的挠度：,以此类推得总挠度关系：,括号内为无穷等比级数，当,P,/,P,E,1,时级数收敛；得到与,前述相同的结果，,称为,挠度（或弯矩）放大系数,。,体现了一阶弯矩和二阶,弯矩的差别，即构件本,身的二阶效应，即：,P-,效应。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,5,）上式仅在凹侧应力,max,f,y,有效，,极限条件是,称,边缘纤维屈服准则,。,上式即 或,令 （初始偏心率），得：,解得,上式由,P,erry,在,1886,年首先提出，故称为,P,erry,公式,，,初弯曲杆能承受的最大荷载,P,=,A,。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,）初偏心的影响,图示杆件两端荷载存在初偏心距,e,0,，杆件在弹性阶段工作，,其内、外弯矩的平衡方程为：,上式的通解为,由边界条件,y0)=0,和,y,(,l,)=0,得到,B,=,e,0,和 ，即：,跨中挠度,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,化简后得,讨论,（,1,）,v,0,是,P,的非线性函数，当,P,=0,时，,v,0,=0,，但一开始加载杆件即发生,弯曲；,（,2,）,v,0,在加载初期增长较慢，后随,P,的加大而增长加快，当,P,P,E,时，,v,，以欧拉临界力为渐进线；,（,3,）,偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；若偏心很小，,则,v,0,在,P,P,E,前都很小。,与初弯曲的影响无本质区别。,e,0,=0.3,e,0,=0.1,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,4,）根据边缘纤维屈服准则，构件中点截面边缘纤维的压应,力最大值：,即 ，此时为,初偏心杆的相关公式,。,正割公式,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,3,）残余应力的影响,（,1,）残余应力对杆件平均的应力,-,应变曲线的影响,残余应力的存在降低了比例极限；,f,y,(,f,p,y,),f,p,(,p,),f,p,=,f,y,-,rc,有效比例极限,对于中长柱，当屈曲应力超过有,效比例极限时，残余应力将降低,构件的抗弯刚度，从而降低其屈,曲荷载。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,2,）轴压构件临界应力,cr,与,的关系（柱子曲线）,长细比相同时，初始缺陷越大，,临界承载力越低。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,3,）,考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载,残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性,核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。,临界荷载 临界应力,其中,I,e,/,I,为临界荷载或临界应力,降低系数，取决于残余应力的分布、截,面形状和弯曲方向。,以轧制,H,型钢为例,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,k,值的求法,短柱试验,当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠弹性,区截面面积,A,e,承担。当轴心压力增量为,P,时，,平均应力增量：,=,P/A,应变增量：,=,P/,(,A,e,E,),与截面平均应力对应的切线模量：,由前述,H,型钢，,所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力,影响系数,k,。,P,全部由弹性区负担,说明,k,值是随,E,t,变化的，即,k,是随平均应力,变化的。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,讨论,（,以轧制,H,型钢为例,）,（,1,）当,0,0.7,f,y,时，杆件在弹性,阶段内工作，按欧拉公式：,0,x,，,0,y,是同一根欧拉,双曲线。,（,2,）,0.7,f,y,0,f,y,时，杆件在弹塑性阶段内工作：,绕强轴：即,绕弱轴：即,可见对弱轴（,y,轴）的影响远大于对强轴（,x,轴）的影响。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,（,4,）我国钢结构设计规范对于残余应力的考虑方法,根据残余应力的影响不同，把构件分为,a,b,c,d,四类。,越靠下方的曲线，残余应力影响越大，临界应力越低。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2.6,轴心受压构件的设计方法,1,）钢结构设计规范,以构件极限荷载为准则的设计方法,允许部分截面发展塑性,其中 为轴心受压柱的稳定系数；,为钢材强度设计值（按厚度分为三组）；,R,为材料抗力分项系数,（近似概率法，,95%,保证率，,Q235:1.087,，,Q345/Q390/Q420:1.111,）,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,规范采用稳定名义应力的表达形式,（,1,）根据柱缺陷的不同，把柱子分为,a,、,b,、,c,、,d,四类，根据,不同的稳定系数曲线（柱子曲线）加以确定。,（,2,）所考虑的初始缺陷包括初弯曲（初偏心）和十四种不同,模式的残余应力等。,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,轴心受压构件的弯曲屈曲,2,）冷弯薄壁型钢设计规范,采用边缘屈服的,Perry,公式；,取,v,0,=,l,/500,l,/1000,的初弯曲；,只有一条柱子曲线；（残余应力的影响通过适当的取值加以考虑）,稳定系数由边缘纤维屈服时的平均应力与钢材屈服强度的比值确定：,构件稳定设计公式采用统一形式：,