河南省新乡平顶山许昌2010届高三数学第三次调研考试(理)-新人教版.doc

平顶山新乡许昌2009—2010学年高三第三调研考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3页至8页，全卷共8页，共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题）
注意事顷：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A、 B、 C、 D、
2．设向量与的夹角为且，，则
A、 B、 C、 D、
3．已知是函数的反函数，则的值是
A、8 B、3 C、 D、2
4． 已知、是平面，、是直线，给出下列命题
①若，，则
②如果，，则
③如果，，是异面直线，那么不与相交。
④若，且，，则且。
其中真命题的个数是
A、1 B、2 C、3 D、4
5．设，，则下列不等式中不恒成立的是
A、 B、
C、 D、
6．已知双曲线的焦点、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为
A、 B、 C、 D、
7．已知在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是
A、 B、 C、 D、

7．已知，则
A、 B、 C、 D、
8．，，，，则的值等
A、 B、 C、 D、
9．在等边三角形ABC中，M、N、P分别为AB、AC、BC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所在二面角的余弦值为，则直线AM与NP所成角的大小为
A、90° B、60° C、 D、
10．设变量、满足约束条件则目标函数的取值范围是
A、 B、 C、 D、
11．已知函数，则是
A、周期为，且图象关于点 对称
B、最大值为2，且图象关于点对称
C、周期为，且图象关于点对称
D、最大值为2，且图象关于对称
12．过点且方向向量为的光线经直线反射后通过抛物线，的焦点，则抛物线的方程为
A、 B、 C、 D、

第II卷（非选择题）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写II卷正面相应位置中。
2. 本卷共10小题共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在题中横线上。
13．若复数满足，则 ___________________.
14．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面为_________.
15．某购物广场前要建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有_______种（用数字作答）
16． 在下列命题中：
①方程表示的曲线所围成区域为面积为2；
②与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为；
③与两定点、距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；
④与两定点、距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线。
正确的命题的序号是________.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
在△ABC，角A，B，C所对边分别a、b、c，且。
（I）求角A
（II）若，，试求的最小值

18．（本小题满分12分）
高二下学期，学校计划为同学们提供A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）。
（I）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
（II）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
（III）求3位同学中，选择A选修课人数的分布列与数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，已知是正三棱柱，D是AC中点，。
（I）证明
（II）求异面直线所成的角
（III）求以为棱，与为面的二面角的度数。

20．（本小题满分12分）如图点是曲线（）上的点，点是轴上的点，△是以为直角顶点的等腰三角形，其中，2，3，……，为坐标原点。
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列，求最小正整数，使得对任意的，当时，成立。

21．（本小题满分12分）
设函数，其中
（I）求函数的单调区间；
（II）设的最小值为，证明：。

22．（本小题满分12分）
设椭圆（）的长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点（，为常数）作斜率为（）的直线与椭圆交于不同的两点A、B，问在轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由。
参考答案
一．选择题：
(1)C (2)A (3)B (4)C (5)C (6)C (7)A (8)B (9)A (10)B (11)B (12)D
二．填空题：
(13)，(14)，(15) 120， (16)①②④．
三．解答题：
(17)（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）， …………………2分
即，∴，∴． ………4分
∵，∴． ………………5分
（Ⅱ）mn ， …………………6分
∴|mn|
． ………………8分
∵，∴，∴，从而．
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．
所以，|mn|． ………………10分
(18)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，
则． …………………2分
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，
则． …………………5分
（Ⅲ）由题意，x的取值为0、1、2、3．
则，，，
．（每个1分） …………………9分
∴x的分布列为：
x
0
1
2
…………………10分
3
P

∴． …………………12分
(19)（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．
连结B1C交BC1于E，则B1E=EC ．
连结DE，在△AB1C中， ∵AD=DC，∴DE∥AB1，
又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1． ……4分
（Ⅱ）设D1是A1C1的中点，则DD1⊥平面ABC．
所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD1为z轴（如图）建立空间直角坐标系．
设AB=2，则，，，，．
∴，，
∵，∴，
即，AB1与BC1所成的角为90°． ………8分
（Ⅲ）∵BC的中点，∴，
∴可取平面CBC1的法向量为．
设平面BC1D的法向量为，
则
∴可取．
∵，
∴面DBC1与面CBC1所成的二面角为45°． ……………12分
(20)（本小题满分12分）
解：（I）∵点在曲线上，∴，．
∵△是等腰直角三角形，∴， ………3分
∵，∴．
由可以解得，
∴，． ………5分
∴，∴，． ………7分
（II）∵当时，，，当时，，，……，
可以猜想，当且时，成立．下面用数学归纳法证之． ……9分
设时，成立，即，成立，
当时，
∵，∴，∴成立．
综上，时，对任意的，当时，成立． ………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得函数的定义域为，而． ……………2分
∵，，∴当时，，当时，．……4分
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是． ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的最小值为，． …………6分
要证明，只须证明成立． ……………7分
设，． ……………8分
则 ，
∴在区间上是增函数，∴，即．
取得到成立． ……………10分
设，，同理可证．
取得到成立．因此，． ……………12分
(22)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得 解之得 从而．
∴椭圆方程为． ……4分
（Ⅱ）设直线的方程为，
联立方程得消去y得，……6分
∵．
设，，，
则，，（*）
因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于， ………8分
所以，即， ………9分
即，
将（*）式代入上式得，
整理得，∵，∴，所以，N点存在，且坐标为，
因此，存在点N使得直线NA与NB的倾斜角互补． ………12分