广东省海珠区高三数学上学期综合测试(二)试题-理-新人教A版.doc

海珠区2012学年高三综合测试（二）
数学(理科）
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
若在每次试验中，事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件WA恰好发生k次的概率为.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. i是虚数单位，复数对应的点位于
A第一象限 B第二象限 C.第二象限 D.第四象限
2. 若集合.，集合，则 “a = 3”是“.的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知函数，若，，则
A. a < b < c B. c < a < b C. b < c < a D. a < c C. D.
8. 用表示a，b两个数中的最大数，设，那么山函 数的图象、X轴、直线和直线X = 2所围成的封闭图形的面积是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.
（一）必做题（9～13 题
9. 的二项展丌式的常数项为_______.(用数字作答）
10. 公路部门对通过某路段的300辆汽车 的车速进行检测，将所得数据按[40,50), [50,60), [60,70), [70,80]分组，绘制成如图3所示的频率分布直方图.图示中a的值等于_____；这300辆汽车中车速低于的汽车有____辆.
11. 已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z = X -y的最小值等于______.
12. 某程序框图如图4所示，该程序运行后输出的值依次为_____.

13. 给出下列四个命题：
①命题，则,
②当时,不等式的解集为非空；
③当X>1时，有
④设有五个函数.，其中既是偶函数又在 上是增函数的有2个.
其中真命题的序号是_____.
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点A的坐标为曲线c的方程 为，则0A (O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为____.
15. (几何证明选讲选做题D如图5所示，过圆C外一点尸做一条直线与圆C交于A,B两 点，AB = 2AP，PT与圆c相切于T点.已知圆C的半径为2，，则PT=_______.

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分）
已知函数
(1) 求f(X)的最小正周期；
(2) 求函数在区间上的最大值和最小值,并求此时X的值.

17. (本小题满分12分）
现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.约定：每个人 将质地均匀的硬币抛掷2次决定自己去参加哪个游戏.2次抛出的硬币朝上的面均为正面的 人去参加甲游戏，2次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏.
(1) 求这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2) 求这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

18. 用;分别表示这3个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变 量的分布列和数学期望.(本小题满分14分）
如图6，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，M，N分别是PB，PC的中点， PA = AB,在四边形ABCD中，AB 丄 AD，AB 丄 BC .
(1)求证：MN//平面PAD,
(2) 求证：平面MN丄平面PBC;
(3)若AD－ AB = 1，，，求二面角P－AB－N的大小.

19. (本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点尸在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.
(1) 若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
(2) 对于由(1)得到的椭圆C，过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0)，交x轴于点M， 若，求直线l的斜率.

20. (本小题满分14分）
已知点？在函数_的图象上.
(1) 若数列是等差数列，求证数列是等比数列；
(2) 若数列的前《项和是，过点的直线与两坐标轴所围二角 形面积为Cn，求最小的实数t使：恒成立；
(3) 若数列为山（2)中{a」得到的数列，在与之间插入个3， 得一新数列，问是杏存在这样的正整数m，使数列的前m项的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由

21. (本小题满分14分）
已知函数的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值；
（2)若对任意的，有成立,求实数k的最小值；
(3)证明

海珠区2012学年高三综合测试(二)
理科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
D
A
A
A
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9. 10. , 11. 12. ,
13. ③④ 14. 15.
(第10题第一空分,第二空分)
三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）
…………2分

…………3分
…………4分
…………5分
…………6分
的最小正周期为 …………7分
(2)由(1)知,
由,得, ……8分
当,即时, 取得最大值; …………10分
当,即时, 取得最小值.…………12分
17. (本小题满分12分)
（本小题主要考查互斥事件,古典概型,独立重复试验，数学期望等知识，考查随机思想以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识）
解:将质地均匀的两枚硬币抛掷两次朝上的面有等可能的四种结果:, ,,, …………1分
所以个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.…………2分
设“这个人中恰有人去参加甲游戏”为事件
则. …………3分
(1)这个人中恰有人去参加甲游戏的概率.…………5分
(2)设“这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件,则,
由于互斥,故.
所以, 这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.………7分

(3)的所有可能取值为, …………8分
由于与,与互斥,故
,…………9分
. …………10分
所以, 的分布列为

……11分
所以随机变量的数学期望. …………12分
18. (本小题满分14分)
（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

解: (1)证明: 分别是的中点
是的中位线,
, 又，
,
, …………1分
平面, …………2分
平面, …………3分
平面. …………4分
(2),是的中点
…………5分
底面，
平面，

又，，平面，平面，
平面，平面
. …………6分
,平面,平面
平面. …………7分
又平面 …………8分
平面平面. …………9分
(3) 底面，平面，
,又

又,

联立,解得.
过点作于,
在中,

,. …………10分
方法一（向量法）：以为坐标原点,分别以直线为
轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. …………11分
则,,
，,.
由(2)知是平面的一个法向量;
设平面的法向量为,
则,即,得
.取.
…………12分
.
…………13分
结合图可知, 二面角的大小为. …………14分
方法二（几何法）
由（2）知平面，平面
,
是直角三角形斜边上的中线，
.
同理易证.
.
取的中点,连,则.
连,易知,.
平面,平面,
即是二面角的平面角. …………11分
在中,,

在中,,
,, …………12分
在中,,又有,
是以为直角的等腰直角三角形,
. …………13分
二面角的大小为. …………14分
19.(本小题14分)
（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）
解:(1) 由已知,设. …………1分
则直线的斜率,
直线的斜率.
由,得. …………2分
…………3分
,得, …………4分
. …………5分
椭圆的离心率. …………6分
(2) 由题意知直线的斜率存在. …………7分
设直线 的斜率为 , 直线的方程为 …………8分
则有，
设，由于三点共线，且
根据题意，得 …………9分
解得或 …………11分
又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为
所以…………①
或 …………②
由①解得，即,
此时点与椭圆左端点重合, 舍去; …………12分
由②解得，即 …………13分
直线直线的斜率. …………14分
20. (本小题满分14分)
（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）
解:（1）证明：数列是等差数列，设公差为，则对恒成立， ……………… 1分
依题意，， ……………… 2分
所以是定值， ……………… 3分
从而数列是等比数列． ……………… 4分
（2）解：当时，，当时，，也适合此式，
即数列的通项公式是． ……………… 5分
由，
数列的通项公式是， ……………… 6分
所以，．
过这两点的直线方程是：
可得与坐标轴的交点是和． ……………… 7分
，……………… 8分
由于……………9分
即数列的各项依次单调递减，所以． ……………… 10分
（3）数列中，（含项）前的所有项的和是
……………… 11分
估算知，当时，其和是， ……………… 12分
当时，其和是，
又因为，是3的倍数，故存在这样的，使得， ……………… 13分
此时． ……………… 14分
21. (本小题满分14分)
（本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）
解（Ⅰ）解：的定义域为 ……………… 1分
. ……… 2分
由得
当变化时，的变化情况如下表：

﹣
0
+

↘

极小值

↗
……………… 3分
因此，在处取得最小值，故由题意所以 ……………… 5分
(2)解:当时,取,有故不合题意. ……………… 6分
当时,令即
令,
得 ……………… 7分
①当时,. 在上恒成立,因此,在上单调递减.从而对于任意的的,总有即在上恒成立.
故符合题意. ……………… 8分
②当时,对于,故在内单调递增.因此当时,即不成立.
故不合题意. ……………… 9分

综上,的最小值为. ……………… 10分
(3)证明:当时,不等式左边右边.所以不等式成立. ……………… 11分
当时,

……………… 12分
在(2)中取,得,从而
……………… 13分
所以有

综上, ……… 14分

16
用心 爱心 专心