1、
课时知能训练
一、选择题
1．(2012·潍坊模拟)设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
【解析】 ∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)，
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴三个数中至少有一个不小于2.
【答案】 D
2．设f(x)＝x2＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实根 B．可能有2个
2、实根
C．有唯一实根 D．没有实根
【解析】 ∵f(－)f()<0，
∴方程f(x)＝0在(－，)内有根．
又∵f(x)是[－1,1]上的增函数．
∴方程f(x)＝0在[－1,1]内有唯一的实根．
【答案】 C
3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
【解析】 “自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．
【答案】 B
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0
3、)，则P、Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
【解析】 ∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
∴P2＜Q2，∴P＜Q.
【答案】 C
5．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
【解析】 ∵≥≥，
又f(x)＝()x在R上是减函数，
∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.
【答案】 A
二、填空题
6．已知f(
4、n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N*，n＞2)，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是________．
【解析】 ∵f(n)＝－n＝＜，
g(n)＝n－＝＞，
∴f(n)＜φ(n)＜g(n)．
【答案】 f(n)＜φ(n)＜g(n)
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导数f′(x)有最小值，则a与0的大小关系为________．
【解析】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c为二次函数，且有最小值，则a＞0.
【答案】 a＞0
8．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()
5、已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
【解析】 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
【答案】
三、解答题
9．(2012·珠海模拟)已知函数y＝f(x)是R上的增函数．
(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)写出(1)中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论．
6、
【解】 (1)∵函数y＝f(x)是R上的增函数，
又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0.真命题．
证明如下：
假设a＋b<0，∵y＝f(x)是R上的增函数，
∴当a<－b时，f(a)0，求证： －≥a＋－2.
【证明】 要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，
从而只要证2 ≥(a＋)，
只要证4(a2＋) ≥2(a2＋2＋)，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立．
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