山西省山大附中2012-2013学年高二数学上学期期中试题新人教A版.doc

山西大学附中2012～2013学年第一学期高二年级期中考试
数学试题
（考试时间：90分钟）
一、 选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[0，]∪[，π) C．[0，] D．[0，]∪(，π)
2．直线的倾斜角的大小为 （ ）
A. B. C. D.
3.圆和圆的位置关系是 （ ）
A. 相离 B.内切 C.外切 D. 相交
4.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
5.设表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )
A.⊥，若⊥，则∥；B.β，是在内的射影，若⊥，则⊥；
C.β，若⊥则⊥； D.，，若∥，则∥；
6.若直线与互相平行，则的值是（ ）
A.-3 B.2 C.-3或2 D. 3或-2
7．如图，在正方体中，是底面的中心， 为的中点，异面直线与所成角的余弦值等于 （ ）
A. B. C. D.
8.在三棱锥中,底面，，，
，，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
9.已知直线和互相平行，则两直线之间的距离是（ ）
A． B． 　C． D.
10.满足线性约束条件的目标函数的最大值是( ）
A． B. C． D．
11.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
12.如图，在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为 ( )
A． B． C． D．

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若直线与曲线 （为参数）没有公共点，则实数的取值范围是____________．
14.过点的直线交直线于点，则点分有向线段,则的值为________．高考资源网
15．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为_________．
16.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为_________．

2012学年第一学期期中考试高二数学答题卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. 14. 15． 16．
三．解答题：(本大题共5小题共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演步骤） 17.( 本小题满分8分)求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(，－1)； (2)在y轴上的截距是－5.

18.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小．

19. （本小题满分10分） 已知圆，Δ内接于此圆，A点的坐标(3,4)，为坐标原点．
（Ⅰ）若Δ的重心是,求直线的方程；
（Ⅱ）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

20. (本小题满分10分)如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，且ΔABG, ΔADF, ΔCDE都是正三角形.
(I) 求证：AC// EF ；
(II) 求多面体ABCDEFG的体积.

21．（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。
（1）求实数的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且,求直线的方程.

山西大学附中
2012～2013学年第一学期高二年级期中考试
数学参考答案试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
B
C
A
B
B
C
C
B
D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. 或 ； 14. ；
15．; 16．.
三．解答题：(本大题共5小题共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演步骤）
17.( 本小题满分8分)求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(，－1)； (2)在y轴上的截距是－5.
解：∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，
由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为. ……………1分
(1)∵直线经过点(，－1)，所求直线方程为y＋1＝(x－)，
即x－3y－6＝0. ……………5分
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，
即x－3y－15＝0. ……………8分
18.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小．
证明：
（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，
∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．
∴OE为△PAC的中位线．
∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，
∴PA∥平面EDB. ……………4分
（Ⅱ）方法一：
∵AD∥BC，∴就是异面直线AD 与BE所成的角或补角. ………6分
∵PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD ，∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥DC．又因为PDDC= D，所以BC⊥平面PDC.
在BCE中，BC＝，EC＝，∴.
即异面直线AD 与BE所成角大小为． ……………10分
19. （本小题满分10分）已知圆，Δ内接于此圆，A点的坐标(3,4)，为坐标原点．
（Ⅰ）若Δ的重心是,求直线的方程；
（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值．
解：设
由题意可得： 即……2分 又
相减得：
∴ …………………………3分
∴直线的方程为，即．…………………………5分
（2）设：，代入圆的方程整理得：

∵是上述方程的两根
∴ ………………………8分
同理可得： ………………………10分
∴．
20. (本小题满分10分)如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，且ΔABG, ΔADF, ΔCDE都是正三角形.
(I) 求证：AC// EF ；
(II) 求多面体ABCDEFG的体积.
解: (Ⅰ) 证明：方法一，如图，分别取AD、CD的中点P、Q，连接FP，EQ.
∵△和△是为2的正三角形，
∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且FP=EQ=.
又∵平面、平面都与平面垂直，
∴FP⊥平面, EQ⊥平面,∴FP∥QE且FP=EQ，
∴四边形EQPF是平行四边形，∴EF∥PQ.　　
∵ PQ是的中位线，∴PQ∥AC,∴ EF∥AC………6分
方法二，以A点作为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),E(1,2,)，F(0,1,)，G(1,0,).
∴=（2，2，0），=(1，1，0)，则=，
∴∥，即有∥ …………6分
(Ⅱ)…………10分
21.（本小题满分10分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。
（1）求实数的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且，求直线的方程.
解：（1）设过点的直线方程：，即：。………2分
已知，圆C的圆心C：（2,3），半径R=1。
故，解得：，。
此时，当时，过点的直线与圆C：相交于两点。 ……………4分
（2）设圆C上两点,,经过M、N、A的直线方程：，（，），圆C:。
由已知条件，可列：
， ……………………………①
， ……………………………②
， ……………………………③
， ……………………………④
① -②：，
即： ……………………………⑤
由④和⑤得，， ……………………………⑥
解之为，，。
恰好为（2，3），即为圆心C。 ……………8分
故，直线的方程为:，写成一般式为：。……………10分

8
用心 爱心 专心