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课题：离散型随机变量的期望与方差
教学目标：了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.
（一） 主要知识及主要方法：
数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值 .
期望的一个性质:若，则
方差: 对于离散型随机
2、变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，
且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作
方差的性质： ； .
方差的意义：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
二项分布的期望与方差：若，则 ，
几何分布的期望和方差：
若，其中，…， ．则 ，.
（二）典例分析：
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问题1．（浙江）随机变量的分布列如右：
其中成等差数列，若，则的值是
设是一个离散型随机变量，其分布列如下表, 则 ，则
(重庆联考) 随机变量的分布列如右：
那么等于
(黄岗调研)已知，，，则与的值分别为
和 和 和 和
(天津十校联考)某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，
则的值为：
4、
(四川) 设离散型随机变量可能取的值为， （），又的数学期望，则
…
…
问题2．设随机变量的分布列如右表，求和.
问题3．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量的样品检验它们的抗拉强度指数如下：
其中和分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于的条件下，比较甲、乙两种材料哪一种稳定性好.
5、
问题4．(全国Ⅱ)某批产品成箱包装，每箱件．一用户在购进该批产品前先取出箱，再从每箱中任意抽取件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有件、件、件二等品，其余为一等品．用表示抽检的件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；若抽检的件产品中有件或件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
问题5．（辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为：
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
6、
概率
价格与产量的函数关系式
好
中
差
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．分别求利润与产量的函数关系式；
当产量确定时，求期望；试问产量取何值时，取得最大值．
（三）课后作业
已知的分布列为如右表：
则 ，
抛掷一颗骰子，设所得点数为，则 ，
设服从二项分布的随机变量的期望和方差分别为和，则
7、二项分布的参数的值为 ， ，
， ，
（四）走向高考：
（福建）一个均匀小正方体的个面中，三个面上标以数，两个面上标以数，一
个面上标以数.将这个小正方体抛掷次，则向上的数之积的数学期望是
（四川文）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了个苹果，其重量（单位：克）
分别为：，，，，，，，，，，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 克 克 克 克
（湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财
8、会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
任选名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
（四川）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出件进行检验.求至少有件是合格品的概率;
若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任取件，都进行检验，只有件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
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