广东省珠海市2011届高三数学综合测试(二)-文.doc

广东省珠海市2011年5月高三综合测试（二）文科数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设集合,,则
A． B． C． D．

2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为
A． B． C．　　　　D．

3．已知为虚数单位，且，则的值为
A．4 B． C． D．

4．已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是
A. B
C. D. 与平面M成等角

5．函数的图象的大致形状是

　　　　A．　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

6． 长方体中，为的中点，，，，则
A． B． C． D．

7．如果实数满足:，则目标函数的最大值为
　A.2 B.3 C. D.4
8．函数是
　　A．最小正周期是π的偶函数 B．最小正周期是π的奇函数
　　C．最小正周期是2π的偶函数 D．最小正周期是2π的奇函数

9． 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为
　 A．0.5小时　　　B．1小时　　　C．1.5小时　　　D．2小时

10．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 的值为
A．21 B．76 C． 264 D．642

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是.
12．中，，，，
为中最大角，为上一点，，
则　　　　.
13．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的
关系，得到下面的数据表：

晚上
白天
雄性

雌性

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.
参考公式：，其中

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P， 若PA=4，PC=5，则

15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函的部分图象如图所示：
(1)求的值；
(2)设，当时，求函数的值域.

17．(本小题满分12分)
已知，，
(1)若，求事件A：的概率；
(2)求满足条件：的概率．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１８题图）
18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点、，已知，的垂直平分线交于，当点为动点时，点的轨迹图形设为．
（1）求的标准方程；
（2）点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值．

19．（本小题满分14分）如图（1），是直径的圆上一点，为圆O的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（2）所示的位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证：异面直线和互相垂直；
（2）若为上一点，且，，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分14分）
设数列{an}为前n项和为Sn，，数列{ Sn +2}是以2为公比的等比数列．
(1)求；
(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：
＜≤

21．（本小题满分14分）
函数，
（1）当时，求的单调区间；
（2），当，时，恒有解，求的取值范围．

珠海市2011年5月高三二模考试
文科数学试题与参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设集合,则 （ ）C
A． B． C． D．
2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为B
A． B． C．　　　　D．
3．已知为虚数单位，且，则的值为（ ）B
A．4 B． C． D．
4.已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（ ）D
A. B.
C. D. 与平面M成等角
x
y
O
1
－1
B．
x
y
O
1
－1
A．
x
y
O
1
－1
C．
x
y
O
1
－1
D．
5.函数的图象的大致形状是（ ）.D

A.

6． 长方体中，为的中点，，，，则A
A． B． C． D．
7．如果实数满足:，则目标函数的最大值为C
A.2 B.3 C. D.4
8．函数是 （ ）A
A．最小正周期是π的偶函数 B．最小正周期是π的奇函数
C．最小正周期是2π的偶函数 D．最小正周期是2π的奇函数

9． 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.B
　 A．0.5小时　　　B．1小时　　　C．1.5小时　　　D．2小时

10．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 的值为( )C
A．21 B．76 C． 264 D．642
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是
12．中，，，，
为中最大角，为上一点，，
则　　　　
12．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到
下面的数据表：

晚上
白天
雄性

雌性

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99%
参考公式：，其中

A
O
D
C
P
B
14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P， 若PA=4，PC=5，则 ______

15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函的部分图象如图所示：
(1)求的值;
(2)设，当时，求函数的值域。

16．解：(1)由图象知：，则：，……………2分
由得：，即：，…………………4分
∵ ∴ 。 ………………………………………6分
(2)由(1)知：，……………………………7分
∴

，………………………………………10分
当时，，则，
∴的值域为。………………………………………………12分

17．(本小题满分12分)
已知，，
(1)若，求事件A：的概率；
(2)求的概率。
解：(1)以表示的取值组合，则由列举法知：满足，且的所有不同组合共有：种；…………………………2分
其中事件A：包含其中的，共9种；…………………………………………………………………………4分
则：。…………………………………………………………5分
(2)设，则；……………………6分
b
2a+b=4
a

2b=3a +3
o

2
-2
4
设事件，则B表示的区域为图中阴影部分；

………………………………………8分

由得：，即；……………………………9分
由：令得：；令得：；
∴；……………………………11分
∴。……………………………12分。

18．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点、，已知，的垂直平分线交于，当点为动点时，点的轨迹图形设为．
（1）求的标准方程；
（2）点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值．

解：（Ⅰ）．设
是的垂直平分线，

点的轨迹图形是为焦点的椭圆 （3分）
其中，，
， （4分）
点的轨迹图形： （6分）
（Ⅱ）解法一：由题设知，
在上
设， （8分）
则
（9分）

（10分）
（12分）
，当时，的最小值为2．（14分）
解法二：设， （7分）
则， （8分）
（9分）
（10分）
点满足，， （11分）
= （12分）
，当时，的最小值为2．（14分）

19．（本小题满分14分）如图（1），是直径的圆上一点，为圆O的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（2）所示的位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证：异面直线和互相垂直；
（2）若为上一点，且，，求三棱锥的体积．

（1）证明：等边三角形中，为的切线，为切点，
且为中点 （2分）
以为折痕将翻折到图（２）的位置时，
仍有，
平面 （4分）
（5分）
（2）解：，
图（1）中，为的直径，为的切线，为切点，
中，，

， （8分）
，
平面 （10分）
三棱锥的体积
（12分）
为上一点，且，
三棱锥的体积
（14分）

20．（本小题满分14分）
设数列{an}为前n项和为Sn，，数列{ Sn +2}是以2为公比的等比数列．
(1)求；
(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：
＜≤
解：(1)由题意得：，，(1分)　　　　　　　　　
已知数列{ Sn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列
所以有：， (4分)
当时，，又 (6分)
所以：　　　　(7分)
(２)由(１) 知:，
∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；(8分)
∴当 n=2k-1(k∈N*)时，
Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2)
=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)
=+=×8k-，(11分)
Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k = ×8k-，(10分)
　=　　=　+，
∵ 5×8k-12≥28，∴＜≤3。(11分)
∴当n=2k (k∈N*)时，
Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)
=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)
=+=×8k-，(12分)
Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k+2 = ×8k-，(13分)
∴ 　=　　=　+，∵8k-1≥7 ，∴＜＜，
∴ ＜≤。(14分)

21．（本小题满分14分）
函数，
（1）当时，求的单调区间；
（2），当，时，恒有解，求的取值范围．
解：（1）的定义域为， （2分）
（3分）

当时，即，则在和上单增，在上单减 （6分）
（2）由（1）知，，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时得到最小值为 （8分）
时，恒有解，需在时有解 （9分）
即有解，
令， ，（10分）
在上单增 （11分）
需，即或 （13分）
的范围是 （14分）
- 13 -
用心 爱心 专心