甘肃省兰州市外国语高级中学高三数学5月第三次诊断试卷-文.doc

兰州市外国语高级中学2012届高三第三次诊断试卷文 科 数 学

考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟.
所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 （k=0，1，2，…，n）
球的表面积公式 其中R表示球的半径
球的体积公式 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．）
（1）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ （ ）
A． B．｛x|2＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|0＜x＜3｝
（2）函数的反函数是 ( )

A. B. C. D.
（3）已知命题“：双曲线的离心率为”；命题“：双曲线为等轴双曲线”．则是的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）在等比数列中，， ，数列的前项和为，则=
A． B． C． D．

A
B
C
D
（5）如图和都是边长为的正三角形，且二面角的大小为，则的长为 ( )
A．2 B．
C． D．
（6）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ).
A． B．5 C． D．
（7）已知O，N，P在所在平面内，且，8且，则点O，N，P依次是的 ( )
A．重心 外心 垂心 B．外心 重心 垂心
C．重心 外心 内心 D．外心 重心 内心
（8）从名男学生、名女学生中选3名学生组成一个研究性学习小组，要求其中男、女学生都有，则不同的选法有 ( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
（9）是圆上一点，是满足的平面区域内的点，则 的最小值为 ( )
A． B． C． D．
（10）已知函数，将的图像向左平移个单位长度，得函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
（11）在球的表面上有三个点，且， 的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
（12）已知奇函数在时，，则在上的值域为
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________.
（14）(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .
（15）设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则= .
（16）设为抛物线的焦点，该抛物线在点处的切线与轴的交点为，则的外接圆的方程为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题10分）
设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足,，求数列的通项公式及前项和．

（18）（本小题12分）
已知中，三个内角、、对应的三边长分别为、、，且有．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求的最大值，并判断此时的形状．
（19）（本小题12分）
将编号为1、2、3的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知1号小球放入甲盒，2号小球放入乙盒，3号小球放入丙盒的概率分别为,,，记1号小球放入甲盒为事件，2号小球放入乙盒为事件，3号小球放入丙盒为事件，事件、、相互独立．
（Ⅰ）若，求事件、、中至少有两件发生的概率；
（Ⅱ）若事件、、中恰有两件发生的概率不低于，求的取值范围．
（20）（本小题12分）
C
A
E
D
B
M
如图，四棱锥中，为正三角形，平面，
平面，为上一点，．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当时，求二面角的正切值．

（21）（本小题12分）
设函数的导数为，若函数的图像关于直线对称，且函数有最小值．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）已知函数，若方程只有一个实根，求实数的取值范围．
（22）（本小题12分）
已知经过点的双曲线：的离心率为．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）是否存在经过点的直线与双曲线有两个不同的交点、，且线段的垂直平分线分别交轴、轴于点、，使得四边形为菱形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
高三第三次诊断数学（文）试题参考答案与评分参考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
（1）B（2）A（3）C（4）D（5）C（6）D（7）B（8）A（9）D（10）C（11）A（12）C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）， （14）0 ， （15） ， （16）；
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
（17）解：设数列的公差为，首项为
∵ ∴ ① ……………………3分
又∵ ∴ ② ……………………6分
由①②解得， ……………………8分
所以数列的通项公式为，前项和…………………10分
（18）解：(Ⅰ)∵
∴ ……………………3分
显然
∴ ……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，故有，
∴ ………………8分
∴
……………………10分
当且仅当，即时，取得最大值，此时为等腰三角形． ……………………12分
（19）解：（Ⅰ）事件、、中至少有两件发生的概率为 ……………………6分
（Ⅱ）依题意有
……………………9分
即 解得 ………………11分
所以的取值范围是 …………………12分
（20）解法一： （Ⅰ）证明：∵平面，平面
∴∥ 而平面 平面
C
A
E
D
B
M
N
G
∴∥平面 ………………5分
（Ⅱ）∵平面 ∴平面平面
在平面中过点做，垂足为，则有
平面， ∥，
∴且∥
过做于，连接则，所以为二面角的一个平面角 ………………7分
在四边形中
∵
∴四边形为矩形
∴=
∴为的中点，为的中点 ………………10分
在中，，
C
A
E
D
B
M
x
y
z
∴ ………………12分
解法二：依题意建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，
（Ⅰ）∵
∴
∴∥ 而平面 平面
∴∥平面
（Ⅱ）∵在上 ∴
设，则有，，
∴
∵
∴
解得： ∴
依题意为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则有
即 令解得，
∴
∴
∴
显然，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
∴二面角的正切值为
（21）解：（Ⅰ）∵
∴ 解得 ………3分
∴ ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴
令，则
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴， ………9分
∵方程只有一个实根
∴ 或 解得或
∴的取值范围是 ………12分
（22）解：（Ⅰ）依题意有：，且
所以，
双曲线的方程为 ………4分
（Ⅱ）①若直线的斜率不存在，则直线与双曲线没有交点，故满足条件的直线不存在．
②若直线的斜率为，则线段为轴平行；不满足条件，直线不存在．
③若直线的斜率为，则直线与双曲线的渐近线平行，故满足条件的直线不存在．
④若直线的斜率存在，且不为不为时设为，则直线的方程为
………6分
设、，由得

………7分
∴
∴线段的中点为
∴线段的垂直平分线
∴
∴ 线段的中点为
若四边形为菱形，则线段的中点在直线上，所以
解得，这矛盾． ………11分
综上，不存在满足条件的直线 ………12分

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