1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,1,二重积分,三重积分,2,一、二重积分的计算,1,定理,1,若函数,在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,3,2,推论,若函数 在,a,b,可积，函数,在,c,d,可积，则乘积函数,在闭矩形域,也可积，且,4,X,型与,y,型区域,定义,设函数在闭区间,连续；函数在闭区间,连续，则,x,型区域,y,型区域,5,积分区域为,：,其中函数 、在区间 上连续,.,如图,x,型区域,6,y,型区域,7,定理,2,设有界闭区域,R,是由两条光滑曲线,以及直线,x=a,与,x=b,所围成。
2、在,R,可积，且,定积分,存在，,也存在，且,则累次积分,若函数,8,如何利用累次积分求二重积分,(,以 型为例,),化为先对，后对的累次积分,.,首先将,R,投影到轴，得到闭区间，,在区间 上任取一点，关于积分,，,在,R,内的积分限由,然后关于从,到积分,到,9,二、二重积分的换元,定理,2,若函数 在有界闭区域,R,连续，,函数组 将,平面上区域一对一地变换为,xy,平面上区,域,R,。且函数组 在,上对 与对 存在连续偏导数，,有,则,10,极坐标变换,面积微元,设曲面,S,的方程为,：,曲面的面积,曲面面积为,第一型曲面积分的特殊情况,11,利用参数方程来计算,曲面面积,12,例,
3、1,计算二重积分其中,D,是由直线,和双曲线 所围成，,D,既是,x,型区域又是,y,型区域,13,例,2,将二重积分 化为按不同次序,的累次积分，其中,R,是由上半圆周,抛物线,和直线,所围成,14,截下的,有限曲面片,的面积,.,被柱面,例,3,求曲面,例,4,所围平面闭区域,.,例,5,计算由下列曲线围成的面积,15,例,6,例,7,计算球体被圆柱面,所截得的那部分立体的体积,其中是以,所围成,例,8,16,二、三重积分,1.,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,设积分区域,V,为,17,如 图，,过点,闭区域,V,在,xoy,平面的投影为闭区域,D.,18,再计算,得,则,注,相交不多
4、两点情形,.,19,x,0,z,y,z=z,2,(,x,y,),I,=,P,D,z=z,1,(,x,y,),这就化为一个,定积分和一个,二重积分的运算,20,三,.,三重积分换元法,定,理,若三元函数 在有界闭体 连续,则三重积分 存在,.,设函数组,在 空间有界闭体 有定义,.,若满足,下列条件,:,21,1),函数,所有的偏导数在 连续,;,2),22,则有三重积分的换元公式,3),函数组,(1),将 空间中的 一一对,应地变换为 空间中的,.,23,2.,柱面坐标变换,设,其中,24,先将,在,xOy,面上的投影域用,极坐标,不等式,从而,故,再,确定,的下,上边界面,表示,25,3,球面坐标与,直角坐标的关系为,26,球面坐标系中的体积微元为,再根据再,V,中,r,，的关系，化为三次积分。,27,例,9,计算平面 与,所围成的四面体的体积,.,例,10,计算三重积分,，,上半椭球体：,其中是,例,11,计算三重积分,V,：,平面,x,=0,y,=0,z,=0,，,x+,2,y+z,=1,所围成的区域,28,与抛物面,所围的立体,.,例,12,计算,，其中 是球面,例,13,计算,其中,V,由曲面,和,围成。,29,其中,V,是由曲面,所界的区域,例,14,
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