重积分的应用82706.pptx

2020/2/9,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,三重积分的计算方法,方法,1.“,先一后二,”,方法,2.“,先二后一,”,方法,3.“,三次积分,”,具体计算时应根据,三种方法各有特点,被积函数,及,积分域的特点,灵活选择,.,三重积分内容小结,利用,柱面坐标（柱坐标）,计算三重积分,就称为点,M,的,柱坐标,.,直角坐标与柱面坐标的关系,:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,适用范围,:,1),积分域,表面用柱面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用柱面坐标表示时,变量互相分离,.,利用,球面坐标（球坐标）,计算三重积分,就称为点,M,的,球坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,适用范围,:,1),积分域,表面用球面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用球面坐标表示时,变量互相分离,.,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,说明,:,三重积分也有类似二重积分的,换元积分公式,:,对应,雅可比行列式,为,变量可分离,.,围成,;,二、立体体积,三、曲面的面积,四、物体的质心,五、物体的转动惯量,重积分的应用,一、平面图形面积,1.,能用重积分解决的实际问题的,特点,所求量是,对区域具有,可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用,微元法,(,元素法,),分布在,有界闭域上的整体量,3.,解题,要点,(25,字）,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.,用重积分解决问题的,方法,解 在极坐标系下,一、平面图形面积,二、立体体积,曲顶柱体,的顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,的立体的体积为,选用,极坐标系,被圆柱面,柱面内的,),立体的体积,.,所截得的,(,含在,例,2.,求球体,0,x,y,解,:,三、曲面的面积,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,dA,无限积累而成,.,设,d,A,在,D,上的,投影为,d,故有曲面面积公式,即,(,称为,面积元素,),若光滑曲面方程为,则有,若光滑曲面方程为,则有,若光滑曲面方程为隐式,则,且,例,3.,计算半径为,的球的表面积,.,解,:,设球面方程为,球面面积元素为,利用球坐标方程,.,x,y,解,:,先求上半部分的面积,.,四、物体的质心,设空间有,n,个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,分别位于,为,为,采用,“,分割,近似,求和,取极限,”,可导出其,质心坐标公式,.,将,分成,n,小块,将第,k,块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标,.,的质点,即得,此质点,在第,k,块上任取一点,同理可得,则得,形心坐标,：,若物体为占有,xoy,面上区域,D,的平面薄片,(,A,为,D,的面积,),得,D,的,形心坐标,:,则它的,质心坐标,为,其面密度,对,x,轴的,静矩,对,y,轴的,静矩,例,5.,求位于两圆,和,的质心,.,解,:,利用对称性可知,而,之间均匀薄片,例,6.,求占据区域,D,的平面,薄片的重心,，其密度函数,练习,五、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于,(,x,y,z,),处的,微元,因此物体,对,z,轴 的,转动惯量,:,对,z,轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算,.,类似可得,:,对,x,轴的转动惯量,对,y,轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面,密度为,则转动惯量的表达式是二重积分,.,例,7.,求半径为 的均匀半圆薄片对其直径,解,:,建立坐标系如图,的转动惯量,.,解,:,取球心为原点,z,轴为,l,轴,则,例,8.,求均匀球体对于过球心的一条轴,的转动惯量,.,设球,所占域为,(,用球坐标,),(,t,为时间,),的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(,比例系数,0.9,),问高度为,130 cm,的雪堆全部融化需要,多少小时,?,(2001,考研,),练习,1,提示,:,记雪堆体积为,V,侧面积为,S,则,(,用极坐标,),由题意知,令,得,(,小时,),因此高度为,130cm,的雪堆全部融化所需的时间为,100,小时,.,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积,V,.,解,:,曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在,xoy,面上的投影为,(,记所围域为,D,),在点,求曲面,练习,2,