高等数学导数的应用.pptx

,#,第三章 导数的应用,第二节 函数的性质,第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第二节 函数的性质,一,.,函数的单调性,二,.,函数的极值,本节主要内容,:,三,.,函数的最值,四,.,曲线的凹凸性,五,.,曲线的渐近线,六,.,函数的分析作图法,一、函数的单调性,定理,3.2.1,（函数单调性的判定法）,设,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内可导，则,（,1),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,，那么函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上单调增加；,（,2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,由函数图像可知函数在,(-,+,),上是单调递增的,当,x,=,0,时，,y,=0,当,f,(,x,),在某区间内仅在个别点处的导数为,0,或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，,f,(,x,),在该区间仍是单增（或单减）的。,解,例,2,讨论函数,f,(,x,)=e,x,-,x,-1,的单调性,.,函数,的定义域为,(-,+,),；,当,x,0,时，,y,0,函数在,(,0,+,),上单调增加,当,x,0,时，,y,0,时，,y,0,函数在,(,0,+,),上单调增加,当,x,0,时，,y,0,时，,e,x,1+,x,f,(,x,)=,e,x,-1,所以,x,0,+,),有,f,(,x,),f,(0)=0,，即,e,x,-1-,x,0,令,f,(,x,)=,e,x,-1-,x,，则,f,(,x,),在,0,+,),上连续、可导,且,当,x,0,时，,y,0,函数在,0,+,),上单调增加,所以,当,x,0,时，,e,x,1+,x,利用单调性证明不等式,证明,又因为：,f,(0)=0,，,所以：当,x,0,时，,y,0,函数在,0,+,),上单调增加,所以,x,0,+,),有,f,(,x,),f,(0),，即不等式成立,.,例,7,证明：,令,则,证明,o,x,y,y,=,(,x,),M,m,a,b,设函数,y,=(,x,),在,(,a b,),内图形如下图,:,在,1,处的函数值,f,(,1,),比它附近各点的函数值都要小,;,而在,2,处的函数值,f,(,2,),比它附近各点的函数值都要大,;,但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念,.,二、函数的极值,定义,3.2.1,设函数,f,(,x,),在,x,0,的某领域,N,(,x,0,),内有定义，都有,（,1,）,f,(,x,),f,(,x,0,),成立，则称,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的,极小值,函数的极大值与极小值统称为函数的,极值,，使函数取得极值的点称为,极值点,注：,1,、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；,2,、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；,3,、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。,f,(,x,),的极小值点,:,f,(,x,),的极大值点,:,定理,3.2.2,（极值的必要条件）,设函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导，且在点,x,0,处取得极值，那么函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数为零，即,f,(,x,0,),=0,极值的必要条件,1,、可导函数的极值点必是它的驻点,.,从而有几何意义,:,可导函数的图形在极值点处的切线是,与,x,轴平行的,(,罗尔定理,).,2,、对可导函数来说,驻点不一定是极值点,.,即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值,.,如,o,x,y,则,x,=0,为,f,(,x,),=x,3,的驻点,.,如图：,x,=0,不是,f,(,x,),=x,3,的极值点,.,说明：,3,、对于函数,y=|x|,我们已知,x,=0,是函数的连续不,可导点,.,但,x,=0,是函数的极小值点,.,如图,.,o,x,y=|x|,实际上,连续不可导点也可能是极值点,.,因而函数还可能在连续不可导点处取得极值,.,定理,3.2.3,（极值的第一充分条件）,设函数,f,(,x,),在点,x,0,某个空心邻域内可导（,f,(,x,0,),可以不存在），,x,为该邻域内任意一点，,（,1,）当,x,0,，当,x,x,0,时,f,(,x,)0,，则,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的极大值；,（,2,）当,x,x,0,时,f,(,x,),x,0,时,f,(,x,)0,，则,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的极小值；,（,3,）当,x,x,0,时,f,(,x,),的符号相同，则,f,(,x,0,),不是函数,f,(,x,),的极值,极值的充分条件,(,是极值点情形,),(,不是极值点情形,),定理,3.2.4,（极值的第二充分条件）,设函数,f,(,x,),在点,x,0,处二阶可导，且,f,(,x,0,),=0,，,f,(,x,0,),0,，,则,（,1,）当,f,(,x,0,),0,时，函,f,(,x,),在点,x,0,处取得极小值,注：,1,、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；,2,、当,f,(,x,0,),=,0,时，无法判定,f,(,x,),在点,x,0,处是否有极值,（,1,）确定函数,f,(,x,),的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,（,2,）求出函数,f,(,x,),的导数,f,(,x,),；,求出函数,f,(,x,),的所有驻点及不可导点，即求出,f,(,x,)=0,的根和,f,(,x,),不存在的点；,（,3,）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值,求极值的方法：,例,8,求函数 的极值,（,3,）列表,（,1,）函数,的定义域为,(-,+,),；,(-,-2),0,(-2,-4/5),-4/5,(1,+,),+,极大值,0,-,0,+,所以,f,(,x,),在,x,=0,处取得极大值为,0,，在,x,=-4/5,处取得极小值为,-8.4,（,2,）,无不可导点,令,f,(,x,)=0,，得,0,极小值,-8.4,(-4/5,，,1),+,1,0,无极值,解,例,9,求函数 的极值,令,f,(,x,)=0,，得,（,1,）函数,的定义域为,(-,+,),；,所以,f,(,x,),在,x,=-1,处取得极大值为,17,，在,x,=3,处取得极小值为,-47,（,2,）,无不可导点,（,3,）,因为,解,定义,3.2.2,设函数,f,(,x,),在区间,I,上有定义，,x,1,x,2,I,，,（,1,）若,x,I,，都有,f,(,x,),f,(,x,1,),成立，则称,f,(,x,1,),为函数,f,(,x,),的,最大值,，,x,1,为函数,f,(,x,),的,最大值点,；,（,2,）若,x,I,，都有,f,(,x,),f,(,x,2,),成立，则称,f,(,x,2,),为函数,f,(,x,),的,最小值,，,x,2,为函数,f,(,x,),的,最小值点,函数的最大值与最小值统称为函数的,最值,，使函数取得最值的点称为,最值点,三、函数的最值,1.,最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；,2.,最值点可以是,I,内部的点，也可以是端点；,3.,如果最值点不是,I,的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点,4.,当函数存在,唯一,的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值,.,说明：,（,2,）求出函数,f,(,x,),在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出,f,(,x,)=0,的根和,f,(,x,),不存在的点；,（,3,）计算函数,f,(,x,),在驻点、不可导点处及端点,a,，,b,处的函数值；,（,4,）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值,（,1,）,确定函数,f,(,x,),的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,求最值的方法（一）：,例,10,求函数 在区间,0,4,上的最值,.,（,3,）计算得,f,(-1)=32,f,(2)=5,又,f,(0)=25,f,(4)=57,（,1,）考察区间为,0,4,；,所以,f,(,x,),在区间,0,4,上的最大值是,f,(4)=57,最小值是,f,(2)=5,（,2,）,无不可导点,令,f,(,x,)=0,，得,解,（,1,）当,f,(,x,0,),是极大值时，,f,(,x,0,),就是区间,I,上的最大值,；,（,2,）当,f,(,x,0,),是极小值时，,f,(,x,0,),就是区间,I,上的最小值,.,设函数,f,(,x,),在区间,I,内可导，且只有唯一驻点,x,0,，又,x,0,是,f,(,x,),的极值点，则,（,）,（,）,求最值的方法（二）：,x,R,有,令,f,(,x,)=0,有唯一驻点,假设,例,11,证明：,x,R,有,又,所以函数,f,(,x,),在,x,=1/2,处取得极小值，即最小值,因而,x,R,有,f,(,x,)0,即,证明,在,实际问题,中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数,f,(,x,),必存在最大值,(,或最小值,),而且一定在定义区间内部取到,.,这时,如果,f,(,x,),在定义区间,内部,只有,唯一,驻点,x,0,那么,可以断定,f,(,x,0,),就是最大值,(,或最小值,).(,不必讨论,f,(,x,0,),是否为极值,).,求最值的方法（三）：,例,12,要做一个容积为,V,的有盖圆柱形水桶，问半径,r,与桶高,h,如何确定，可使所用材料最省？,假设水桶表面积为,S,，则,容积,要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小,解,令,S,(,r,)=0,得唯一的驻点,此时,h,=2,r,0,，所以当半径,r,为 ，桶高,h,为,时，可使所用材料最省,(1),根据题意建立函数关系式,y,=,f,(,x,),；,(2),根据实际问题确定函数的定义域；,(3),求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求,.,如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值,.,实际问题求最值,曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念,.,例如：,y,x,o,四、曲线的凹凸性,（,1,）,（,2,）,x,y,o,x,y,o,曲线,(1),上任意两点,(,x,1,f,(,x,1,),(,x,2,f,(,x,2,),之间的弦上的点位于曲线相应点的下面，即,曲线在弦之上,；曲线,(2),则相反，,曲线在弦之下,.,几何解释,定义,3.2.3,设,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,如果对,(,a,b,),内任意两点,x,1,x,2,恒有,那么称,f,(,x,),在,a,b,上的图形是,凹,的（记为“,”）；如果恒有,那么称,f(x,),在,a,b,上的图形是,凸,的（记为“,”）；,(1),观察切线与曲线的位置关系,.,(1),凹,曲线位于其任一点切线的上方；凸,曲线位于其任一点切线的下方,(2),观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系,.,(2),凹,切线斜率单调递增,；凸,切线斜率单调递减,观察与思考,定义,3.2.4,曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点,如果,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点且,f,(,x,0,),存在,问,f,(,x,0,)=,？,如何找可能的拐点？,如何确定曲线,y,f,(,x,),的拐点？,o,x,y,y,=,(,x,),a,A,B,b,c,C,讨论,(1),在拐点,(,x,0,f,(,x,0,),处,f,(,x,0,)=0,或,f,(,x,0,),不存在,.,(2),只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,(3),如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,(2),拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用,横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示,.,这与驻点及极值点的表示方法不一样,.,(1),拐点一定是,f,(,x,)=0,或不存在的点，但是,f,(,x,)=0,或不存在的点不一定都是拐点,.,结论,注意,定理,3.2.5,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,曲线凹凸性判定定理,若曲线,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续，,f,(,x,0,)=0,或不存在，,f,(,x,),在,x,0,两侧异号，则点,(,x,0,f,(,x,0,),是曲线的一个拐点,(1),确定函数的定义域；,(2),在定义域内求,f,(,x,)=0,的点和,f,(,x,),不存在的点；,(3),用上述点划分定义域，并,列表,判别函数的凹凸性,拐点的判定：,求曲线凹向区间和拐点的步骤：,f,(,x,),没有为,0,的点，但是,x,=4,时，,f,(,x,),不存在，,例,13,讨论曲线 的凹向区间与拐点,x,f,(,x,),f,(,x,),(-,4),4,(4,+,),+,-,不存在,拐点,(4,2),（,1,）函数,的定义域为,(-,+,),；,解,定义,3.2.5,若曲线,L,上的动点,P,沿着曲线无限地远离原点时,点,P,与一条定直线,C,的距离趋于零,则称直线,C,为曲线,L,的,渐近线,当,C,垂直于,x,轴时,称,C,为曲线,L,的,垂直渐近线,;,当,C,垂直于,y,轴时,称,C,为曲线,L,的,水平渐近线,五、曲线的渐近线,例如，对于曲线 来说，,所以直线,y,=0,是曲线,的水平渐近线,若 或 则称直线,y,=,b,为曲线,y,=,f,(,x,),的水平渐近线,.,y,x,O,y,=0,（,1,）水平渐近线,所以直线,都是该曲线的水平渐近线,.,又如，曲线,y,x,O,y,=arctan,x,例如，对于曲线,y,=ln,x,来说，,所以直线,x,=0,是曲线,y,=ln,x,的垂直渐近线,若,或 或,则称直线,x,=,x,0,为曲线,y,=,f,(,x,),的垂直渐近线,.,y,x,O,y,=ln,x,（,2,）垂直渐近线,所以直线,x,=1,是该曲线的水平渐近线,.,又如，曲线,1,y,x,O,所以，,y,=2,为水平渐近线,;,例,14,求曲线 的渐近线,.,所以，,x,=1,为垂直渐近线,.,解,所以，,x,=0,为垂直渐近线,;,例,15,求曲线 的渐近线,.,所以，,y,=-2,为水平渐近线,.,解,作函数,y,=,f,(,x,),图象的一般步骤为：,（,1,）确定函数,y,=,f,(,x,),的定义域，分析函数的奇偶性、周期性；,（,2,）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、二阶导数为零的点及导数不存在的点；,（,3,）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点；,（,4,）求曲线的渐近线；,（,5,）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态，结合描点，作图,六、函数的分析作图法,(1),定义域,(-,+,),，函数为偶函数；,例,16,作函数,的图像,(2),x,1,=0,时，,y,=0,x,2,=-1,x,3,=1,时，,y,=0,(3),列表,解,(4),曲线有水平渐近线,y,=0,，无垂直渐近线,(1),定义域,(-,+,),，函数为,奇,函数；,只需作出,0,+,),上的图象,例,17,作函数,的图像,(2),x,1,=1,时，,y,=0,(3),列表,x,2,=0,x,3,=,时，,y,=0,解,(4),曲线有水平渐近线,y,=0,，无垂直渐近线,