高中地理湘教版必修-第一册(2019)-一道立体几何试题的命制过程与反思.pdf

数学通讯年第期（上半月）？复习参考？一道立体几何试题的命制过程与反思谢益斐叶大瑞（浙江省杭州市江南中学，）摘要：本文介绍一道立体几何试题的命题过程以及命题之后的反思关键词：立体几何试题；命制过程；反思近期，笔者参与了高三年级阶段性检测的试题命制工作，负责的是填空压轴题，规定的知识内容是立体几何在试题命制过程中，笔者经历了多次反思、再修改的过程，虽颇为不易却 深感大有收获，本文介绍命题过 程以及命题 之后的反思，与各位同行交流一、试题命制回顾高考，明确方向这道立体几何试 题是作 为全卷 的第题，属于较难题，在注重考查基础知识与基本技能 的同时，应当有一定的区分度那 么，试题要“难”，应 当“难”在何处呢？如何做到“难”得 堂堂正正呢？笔者选 择回顾高 考，因为高考真题是一线教师和命题专 家汗水与 智慧的结晶，是常 读 常 新的绝 佳素材回顾过去十多 年的高考浙江卷，笔者重点关注了处在全卷相似位置的立体几何试题精选了五道高考真题素材（解析从 略），以期能够找到“变化”中的“不变”，虽然试题的呈现方式常考常新，但是其所要考查的关键能 力和数学学科核心素养应是相对稳定的题（，浙江理）如图，正四面体的棱长为，棱平面，则正四面体上的所有 点在平面内的射影 构成的图形面积的取值范围是题（，浙江理）如图，在长方形中，为 匚的中点，为线段（端点除 外）上一动 点现将沿折起，使平面丄平面在平面内过点作丄，为垂足设？，则的取值范围是题（，浙江理）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练已知点到墙面的距离为，某目标点沿 墙面上的射线移动，此人为了准确命中目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（仰角为直线与平面所成角）？题（，浙江理）如图，在 中，若 平面外的点和线段上的 点满足，则四面体的体积的最大值是？题（，浙江文）如图，已知平面四边形，沿直线将翻折成，直线与所成角 的余弦的最大 值是深人分 析，不难发现上述高考试题的共性，它们均以动态图形作为问题情 境，以几何量的最值或者范围为 考查核心，要求学生在函数思想的指导下，合理选定变量，刻 画出几何量并 求得其最值或范围因？复习参考？数学通讯 年第期（上 半月）此，笔 者将问题情境敲 定为动态问题背景下 的几何量最值问题理念先行，雏形初现明 确方向之后，如何构建恰当的立体几何图形让笔者犯了难作为填空题，几何图形应力求 简 洁 清晰，不刻意干扰学生理解题意；问题的设置应尽量自然合理，减少“有意为之”的痕迹；解题的路径应追求“条条大路通罗马”，不限制学生的思维普通高中数学课程标准（年版）指出，数学高考的命题内容应围绕 数学内容主线，聚焦 学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数 学本质、通性通法，淡 化 解题 技巧基于上述考虑，笔 者确定了用图形 翻折 来构建起整个问题情境，以学生最为熟悉的等腰直角三角形为载体，以常见的几何体体积为目标量，命制了试题初稿初稿如图，在等腰三角形 中，？且，动点，分别在线段，上（不含端点）现将沿折起得到四棱锥，当四棱 锥体图积最大时，的值为解析设在中，求 得边上的高，此时底面四边形的面：积譽：只需注 意到，无论，位置如何，四棱锥体积的最大值均为？（）！以下只需求（：，：；）最大值即 可由基本不等 式：，故（）（）再令求导可 知（？的最大值在￥时取得故当四棱 锥体积最大时，有且，即此时的值为本题主要考査余弦定理、三角形面积公式、四棱锥体积公式、函数的最值等 多个知识点，对学生的基本技能和基本思想方法要求较高，突出考查学 生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养反思调整，试题打磨初稿确定之后，虽然题目背景较为简洁且问题指向明确，但整个解题过程颇为繁 琐，有 悖于“小题多思少算”的命题原则部分学生在考场上即使 能够得出体积最大值的函数表达式，但后续函数最值的求解在要求上有些超纲笔者思考良久，始终未能寻得更为简洁自然的解法，故尝试调整 试题在保持试 题基本骨架不动的情况下，笔者想到两种 可能的调整方案方案一是减少动点的个数，即取消动点，当上的动点运动时，将沿着折起，研究三棱锥体积的最大值这样调整，难 度骤降，符合高三年级阶段检测的要求，但笔者又觉得这样的问题 背景 似曾相似，原来 这种调整方案正与年浙江省高考理科试题（见题）“几近雷同”，不同之 处只在于将等边三角形换成了等腰直角三角形，本质上并无二致填空压轴题一定要避免“新瓶装旧酒”，笔 者只能再考虑第二种调整方案尝试方案二，初稿的计算过程之所以费时费力，一部分原因在于中的 角为，由此笔者想到调 整 动 点，所在的位置，得到 如下修改稿修改稿如图，在等腰三角形中，且仙八（：，动点尸，分别在线段，上（不含端 点）现将沿折起得到四棱锥，则四棱锥体积的最大值为图图解析如图，作丄于点，设，工，则可得数学通讯 年第期（上 半月）？复习参 考？命，一？，此时底面四边形輝面积无论位置如何，四棱锥体积的最大值均为吾（）（）中艺（，）砻（，其利用导数可求得（）（？）？的最大值为（）替故四棱锥体积的最大值为解 法探究，试题定稿相比于初稿，修改稿的 计算过程简洁许多，而且，当取得体积最大值时，整个图形也体现了数 学自身的一种 和谐美笔者继续探 究，得到了两种更为简洁的解法解法如 图，作丄于点，设，沒，则可得，夕二，故体积的最 大值为？（沒）（），以下再通过求导得（）（）的最大值为）解法如 图，当，两点运动时，先保持，的乘积不变，即 四棱锥的底面积不变，欲 使体积最大，只需中边上的高 最大，等价于的边长最小显然，由勾股定理再结合基本不等式可知，当且仅当，即 时，四棱 锥的体积取得最大值设且，则四棱锥体积 最大值为（），同理求导得最大值为至此，试题最终定 稿，笔者提供以上三种解法作为参考解析二、命题反思敢于命题，远离“拿 来主义随着信息 技术和网络资源的迅猛发展，教师获得各地模拟卷的方式日趋便捷，试 题的“拿来主义”蔚然成风，绞尽 脑汁 去改编或是原创，远 不如“东拼西凑”来得省 时 省力可是，“信手拈来”的试题贻害无穷，枉顾学生的知识掌握 情况，忽 略当前的教学 实际，遑论指导下一阶段的课堂教学作为教师，一定要敢于命题，因为 无论 是教师的教还是学生的学都需要 通过检测来 发现问题和总结得失检测这一环节出 了问题，那日复一日的备课、上课、作业、答疑等教学常 规，如何 能够 精准实施呢？所以，高效的教与学，要远离“拿 来主 义”，高质量的课堂教学，需要教师承担起自主命题的责任勤于命题，坚持终身学习命题从来都是一件 辛苦的事情，从想法的获 得、试题的设计、解法的探究、试题的打磨等，每一个环节都离不开教 师的思考和坚持命题不易，但蓦然回首时的喜悦也令人心醉高中三年，学生遇到的问题都是 新的，激发着他们无尽的活力和创 造力教书多年之后，教 师遇到的问题大多是旧的，他们的创造力如何才能被点燃呢？命题是一个绝好的途径勤于命题，逼着教师去思考，脑 袋里没干货则 思而不得，又逼着教师去学习，高中知识点烂熟于心又该向何处学呢？向高考真题学，那些经典的高考题往往藏着丰富的内涵；向书本教材学，那些精彩的定理公式的推导常 常是朴素数学思想的外显；向数学大师学，那些自然简洁的 数学概念 是 大师 们 智慧的结晶善于命题，追求推陈出新命题是一门技术活，如何提升命题能力呢？由浅人深，循序渐进从试题改编开始，教材习题、经典高考真题和数学典 籍都是试 题改编的绝好素材在试题改编的过程中，可以学到试题命制的常用做法和技巧，一步步地培养命题能力当然，改 编原题仅 仅是一个好的出发 点，原 创出精彩的试题应当成为每个执教者的理想目标诚然，这条征途 绝无可能是一条坦途，除了自身的不断 学习与 反思，也需要同行间的交流与研讨试题的命制，是思维碰撞与交流的成果，也是群体智慧的结晶愿同各 位同仁一道，在继承的基础上推 陈出新，争做善于命题的数学 教 师（收稿日期）