1、
1.2 集合的关系
【题型解读】
【知识储备】
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
[知识点拨] (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则A⫋B．
2．空集
(1)定义：不含任何元素的集
2、合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则A⫋B．
【题型精讲】
【题型一 集合间关系的判断】
必备技巧 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形
3、结合法：利用数轴或Venn图．
例1 （多选）（2022·全国高一单元测试）下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2 （2022·广东中山市高一期末）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A． B．
C． D．
例3 （2022·浙江高一单元测试）已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．
【题型精练】
1. （2022·浙江高一课时练习）已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A． B．
C．M＝P D．M，P互不包含
2．（202
4、2·山东济南高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（ ）.
①；②⫋，；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
3. （2022·全国高三专题练习）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二 确定集合的子集、真子集】
必备技巧 求集合子集、真子集的3个步骤
例4 （2022·沙坪坝重庆一中高一月考）已知集合，则的真子集共有（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．7
例5 （2022·河南信阳高中高一期末）已知集合，，A⊆M⫋B，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【题型精练】
1．（
5、2022·浙江高一课时练习）满足⫋的集合M共有（ ）.
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
2. （2022·山东青岛二中期中）集合,则集合的真子集的个数是
A．1个 B．3个 C．4个 D．7个
3. （2022·陕西西安市高一期末）满足2，的集合A的个数是
A．2 B．3 C．4 D．8
【题型三 两集合相等问题】
例6 （2022·浙江高一期中）下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
例7 （2022·河北石家庄市高一期末）已知集合，，（，），若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【题型精练】
6、1．（2022·广东潮州高一期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2. （2022·江苏省天一中学期中）设，则集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
3. （2022·全国高一课时练习）已知互异实数，集合，则______．
【题型四 已知集合关系求参】
必备技巧 利用集合关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任
7、何集合的子集．
例8 （2022·盘锦市第二高级中学月考）已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于（ ）
A．±1 B．－1 C．1 D．0
例9 （2022·辉县市第二高级中学高一月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是____．
例10 （2022·济南一中月考）设集合，，若，求实数a的值．
【题型精练】
1．（2022·济南第一中学月考）设集合，，若AB，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. （2022·上海高一期末）已知，，若，求实数的值.
3. （2022·浙江高一课时练习）已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
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