高等教育数学建模与数学技术的应用介绍.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,数学建模与数学技术应用介绍,2011,年,5,月,27,日于南华大学 衡阳,郑洲顺,中南大学数学科学与计算技术学院,提 纲,数学模型与数学建模过程,科学计算与数学模型求解,科学计算与数学软件系统的使用,数学技术的应用,差分方法建模,掌握数学技术迎接时代发展的挑战,我们团队的应用数学研究之路,Mathematical Model&Mathematical Modeling,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的,原型的替代物,它集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征。,数学模型是对客观事物的部分、方面或特性，根据其内在规律，作出必要的简化、假设，运用数学符号、语言等数学工具描述的作为原型替代物的一个,数学结构,。,数学建模,是建立数学模型的全过程，包括对客观事物进行分析、简化、假设、运用适合数学工具表述、求解、解释、检验等。,数学建模是应用数学技术解决是问题的,关键步骤,和,核心内容,。,现实问题的信息,数学模型,现实问题的解答,数学模型的解答,求解,解释,验证,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,求解方法,演绎法,数值法,数值解,解析解,？,表述,数学建模现实世界与数学世界联系的桥梁,数学建模的一般步骤与意义,分析问题,提出假设,应用与推广,求解模型,解的分析检验和验证,建立模型,作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入,20,世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在解决现实世界的实际问题中有着重要意义。,在传统工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地,在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具,美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了,“,数学是一种,关键的、普遍的、可以应用的,技术,”,的结论，认为数学,“,由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义,”,，而,“,计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径,”,。,数学建模技术,是数学建模的相关知识、方法和技巧。,科学计算,和,数学建模技术,是,数学技术,的核心内容，数学技术的应用依赖于,计算机技术,的发展。,科学计算与数学模型求解,算法：,是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列,算术运算,和,逻辑运算,，以便在计算机上求出问题的数值解，并对,算法的收敛性、稳定性及其误差进行分析、计算,。,(1),科学计算与数学建模求解关系,求解方法,演绎法,数值法,数值解,解析解,(2),模型的数值求解与误差,（,3,）,误差的种类及其来源,误差的种类,模型误差,观测误差,截断误差,舍入误差,误差分析,例,1,1 2 3 4,序 号,算 式,计 算 结 果,1,按不同算式和近似值计算出的结果各不相同,初始误差和算法的选定对计算结果的精确度影响很大,大小相近的同号数相减,数值计算中应避免,除数接近于零,乘数的绝对值很大,数值算法的构造、算法的收敛性和稳定性,量级级差很大的数直接相加减,科学计算与数学软件系统的使用,常用算法,1),蒙特卡罗算法,:,该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是一种常用的方法,.,2),数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,:,在实际问题中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用,Matlab,作为工具,.,3),线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题,:,大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用,Lindo,、,Lingo,软件实现,.,4),图论算法,:,这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决,.,5),动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法,:,这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合都会用到,.,6),最优化理论的三大非经典算法：,模拟退火法、神经网络、遗传算法,（是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难,.,7),网格算法和穷举法,:,网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多实际问题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具,.,8),一些连续离散化方法,:,很多实际问题的数据可能是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的,.,9),数值分析算法,:,数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法,.,10),图象处理算法,:,一些问题与图形有关，即使与图形无关，图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用,Matlab,进行处理,.,常用软件,Maple V,系统,MATLAB,系统,MathCAD,系统,Mathematica,系统,LINDO,和,LINGO,SAS,系统,SPSS,系统,数学技术的应用,差分方法建模,一、抵押贷款买房问题,相关背景,名流,花园,用薪金,买高品质住房,对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭,.,现在有这样一栋,:,自备款只需七万人民币,其余由银行贷款，分五年还清,.,相当于每月只需付,1200,人民币。那么,这对于您还有什么问题呢,?,谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。,下面是,1991,年,1,月,1,日某大城市晚报上登的一则广告,.,任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告上没有谈住房面积、设施等，人们关心的是：,如果一次付款买这套房要多少钱呢？,银行贷款的利息是多少呢？,为什么每个月要付,1200,元呢？,是怎么算出来的？,分析与建模,需要借多少钱，用 记,;,月利率用记,R,（贷款通常按复利计）,;,每月还多少钱用,x,记；,借期记为,N,个月。,而一开始的借款为 ，所以该问题可用数学表达式表示如下,（,1.1,）,因为我们都知道，若知道了一次付款买房的价格，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就可以算出,5,年还清，每月要付多少钱才能按时还清贷款，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子做出决策了。,若用 记第,k,个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息）欠款 ，不过又还了,x,元所以总的款数为,由,递推得,故,这就是 ，,x,，,R,之间的显式关系，是迭代关系（,1.1,）的解。,针对广告中的情形，,N=5,年,=60,个月，每月还款,x=1200,元，已知。,但 即一次性付款购买价减去,70000,元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你,.,此外银行贷款利率,R,也没有告诉你，这造成决策的困难,.,然而，由（,1.2,）可知,60,个月后还清，即,=0,，从而得,（,1.3,）,例如，若,R=0.01,，则由（,1.3,）式子可算得,=52946,元。如果该房地产公司说一次性付款的房价小于,70000+53946=123946,元的话，你就应自己去银行贷款。,事实上，利用,Maple,等数学软件可把（,1.3,）式的图形画出来，从而可进行估算决策。,（,1.3,）式表示,N=60,，,x=1200,给定时 和,R,之间的关系式，如果我们已经知道银行的贷款利息,R,，就可以算出 。,例,1,某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款,60000,元，月利率,0.01,，贷款期,25,年,=300,月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱，,25,年后就可以还清，假设这对夫妇每月可有节余,700,元，是否可以去买房呢？,解：现在的问题就是要求使得,=0,的,x,，由（,1.2,）式知,现在,=60000,，,R=0.01,，,k=300,，利用,Maple,等数学软件，容易算得,x=632,元,0,（订购,Q,双鞋），那么购买费用为,k+cQ,元，为了得到每周期的贮存费用，注意到一个周期内的平均存储水平为（,Q+0,）,/2=Q/2,双。因此相应的贮存费用为每单位时间,hQ/2,元，因为周期长度为,Q/a,月，所以每个周期的贮存费用为 元。于是，每个周期的总费用为 元，而每双写的总费用为,:,对于这种特定的鞋，零售商应该隔多长时间向批发商去订一次货，每次订货多少才能使他在单位时间内的花费最少？不妨设,1,个月（,30,天）作为时间单位；零售商从批发商处一次订购,Q,件，设以单位时间,a,双的速率销售这些商品。因为缺货是不容许的，所以连续两次订货的时间间隔为,Q/a,时间单位，即订购周期为,Q/a,，以月计。,3.,模型的建立与求解,由于 解得使得,T,最小的,Q,为 ，为了达到所希望的目的，连续两次订购的时间间隔为,因此，为了达到在单位时间内的花费最小，对于所考虑的特定类型的鞋，,零售商店每隔 月向批发商订购,双,，其中,k,为每次订购的组织费，,h,为每月每件商品的贮存费用，而,a,是零售商售出商品的不变速率。,用一个特定的数值例子来说明前述内容，假定所考虑的特定类型的鞋是一种全年都销售的女鞋，并且预期将继续流行足够长的时间以保证如下分析中的考虑之合理性。零售商估计每次定货的组织费为,20,元；每双鞋的购买费,4.60,元和,0.10,元的运费。零售商将这种鞋的贮存费估计为每双每月,0.84,元，零售商以每月平均,90,双的速率销售这种鞋。,4.,模型的应用（一个数值例子）,利用前面的记号，有,k=20,元，,c=4.70,元，,h=0.84,元，而,a=90,双,/,月。所以使得每月总费用最小的这种鞋的订购量为,这样便有两个问题：,首先，订购,65.47,双鞋是荒唐的；,其次，批发商向零售商出售鞋，按惯例总是以箱为单位，且每箱装有的双数按箱的规格不同而不同。,为确定起见，假定从批发商处订购的特定类型的鞋是,18,双一箱的。,为了解决上面提到的问题，我们首先检查函数 的特性：在可行 集 上，当 时，是减少的，而当,时，是增加的，此处,=65.47,，因为,54,和,72,是,18,的倍数中最接近于,65.47,的两个数，一个小于它，一个大于它，容易算出：元,/,月，而 元,/,月，于是零售商应该订购,双这样的鞋，且应每隔 月，即,24,天订购,72,双鞋（即四箱）这样的鞋。,库存论是运筹学的重要组成部分，有许多存储模型我们这里没有提到。例如。在各种各样的贸易中，销售者将视购买商品的量而给予减价优惠也是常见的。此外，这里考虑的两种模型都是确定性的也就是一个周期内的需求量是已知的。如果一个周期内的需求量是一个已知的随机变量，则合适的 模型将是随机的。关于此处未予考虑的模型可以从运筹学的书中找到。这里，我们 将仿照上例解决下面的问题。,（,1,）,美国一个葡萄酒批发商从法国进口一种特定的葡萄酒。根据以往的经验，批发商知道她必须容许脱销。在国外生产这种葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很难有法国葡萄酒运到她在美国的仓库里，还有其他原因可能导致仓库中这种葡萄酒的短缺。,批发商从葡萄园购买的葡萄酒只有,12,瓶一箱装的。可是她凭经验知道以瓶为单位卖给零售商生意才兴隆，因为零售商希望买到各种不同葡萄酒的混装箱。于是批发商的一件物品意味着一瓶葡萄酒，而单位时间是指一个月（,30,天）。假定,3,项费用,kc,和,h,与前述的一样；此外，短缺被认为 是容许的；零售商对她所不能满足的每瓶葡萄酒的需要视为损失每单位时间,p,元；,Q,和,a,具有前述相同的意义。,5.,模型的推广（评注）,设,S,为所考虑的葡萄酒在一个周期内开始时仓库里的库存量。现在的目的是决定,S,和,Q,应该取什么値才能使批发商在单位时间的费用最小。,提示：,(a),计算每个周期的购买费用是多少？,(b),每个周期的贮存费用是多少（注意在长为,S,a,的一段时间内存储量是 正的，且这段时间内的平均存储量是（,S+0,）,2,S,2,瓶）？,(c),每个周期的短缺损失费是多少（注意长为（,Q,S,）,a,的一段时间内短缺，且在这个时间段的平均损失为,0+,（,Q,S,）,2,）（,Q,S,）,2,瓶）？,(d),将（,a,）（,c,）中的结果相加得到每个周期的总消费是。,(e),利用（,d,）的结果写出单位时间内的总消费（注意：,Q,a,是一个单位时间）。,(f),观察两个变量,S,和,Q,的函数,T,，确定,T,的（局部）最小值。作为第一步，,计算,(g),令（,f,）中计算出的为零，第,S,和,Q,解这个联立方程组。将得到的解分别记作和。,(h),用检验二元函数极限的方法，证明和 是真正的最优。,(i),计算最有周期（作为,k,、,a,、,k,和,P,的函数）,(j),画出存储量对时间的曲线（注意存储量变化范围从,0,到,S,；因为短缺是容许的,订购的数量,Q,可以超过,S,，杂一个周期中存储量为正的时间长度是,S,a,）。,(2),采用下列值：,k,40,元，,c,6.8,元，,h,0.27,元，,p,0.15,元，而,a,426,瓶月。不要忘记批发商从法国买这种葡萄酒时是,18,瓶一箱装的，而她卖给零售商则是一瓶一瓶地卖。重读,1,）在数学软件平台上进行数值计算。,问题的背景与分析,自然资源可以分为两大类，一类叫做消耗性资源，比如煤、铁、石油等矿产，随着人类的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到被消耗完为止；另一部分叫做可再生资源，比如森林、渔场和各种野生动物等资源，在人们利用其中一部分以后，能够通过资源群的自我更新而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能够经过自我更新再长起来，当然恢复的时间随树种和林型的不同而不同。,三、森林问题的深入探讨,以往由于人们对可再生资源缺乏科学的认识，错误地以为资源是取之不尽、用之不竭的，因而对资源利用过度，即利用的量超过了资源的更新和恢复的能力。从而使资源蕴藏量越来越少，严重的毁灭了资源。当然，如果归于可再生资源不加利用或者不充分利用，任其自生自灭，这也是不符合人类利益的，事实上，这也是一种资源的浪费。比如，,青海湖中的湟鱼的利用就是一个例子。,解放前当地藏民受宗教影响，把湟鱼当作“神”来供奉，使得这种鱼类资源未能很好的开发利用。,因此，在人类利用可再生资源中，利用过度固然是一种损失和危险，相反，不利用或者未充分利用也是一种损失，亦未对生物资源不利用或者不充分利用，并不一定能使资源增加。那么到底应该怎样利用才算合理、科学呢？从人类的利益角度来讲，应该是既要使生物资源能源源不断地被利用，维持在一定持续产量水平上，有要使这种持续产量保持最大。如果结合经济成本和收获量来考虑，也就是要确定最佳持续产量，即在维持收获的前提下，获得最大的经济效益。,现在，来考虑一种可再生资源,森林。显然，森林中的数树木每年都要有一批被砍伐出售，为了使这片森利不被耗尽而且每年都有所收获，我们要求：每当砍伐掉一棵树木，就在原地补种上一棵幼苗，从而使得森林中树木的总数保持不变，我们希望能找到一种方案，使得在维持每年都有收获的前提下，去砍伐树木，使得被砍伐的树木获得最大的经济效益。,模型的建立及求解,假设,（,1,）被出售的树木，其价值取决于树木的高度，因此，将树木按高度来分级,h,i-1,h,i,),不同高度级的树木对应着不同的经济价值，下表给出个确定的高度区域价格之间的对应关系：,树木价格与高度区间,级别,价格（元）,高度区域,1,幼苗,0,2,3,N,表示收获群体（或称采伐向量）。,其中第一级是幼苗，它的高度区间是,一般认为用幼苗作木材，没有任,何经济价值，用,表示第,i,机的树木数，,pi,表示第,i,级树木的价值，用,yi,表示收,获地,i,级的树木数，因此,表示森林群体（或称未,采伐向量），,（,2,）对森林进行收获时，要求是砍一棵，种一棵，因此森林中的树木的总数,为一固定值，记为,s,，即,可以由占有土地的总面积和,每棵树所需要的空间的大小而预定给定。,（,3,）两次收获之间是森林的生长期，假设在一个生长期内，数目至多只能生,长一个高度级，即第,i,级中的树木可能进入第,i+1,级，也可能因某种原因而仍然,停留在第,i,级，并且假设同级的树木的生长速度相同，因此记,qi,为,1,年内第,i,级树,木进入第,i+1,级的比例，称,qi,为生长参数。显然，,1-qi,为第一年内第,i,级的树仍停留在第,i,级的比例。,（,4,）除砍伐外，树木不会死掉，即认为每一棵幼苗都可以生长到被收获。,2.,建模过程,即,首先根据假设（,3,）可得出树木的生长情况。记 为,k+1,年第,i,级中的树木数，则有,记，则上述关系就可以写成，其中,称为,生长矩阵,。,其次，我们来考虑一下收获情形，根据假设（,2,），砍伐的总数和补种的幼苗数,相等。设,是收获群体，则在每次砍伐时，,移去树木的,总数是,这也是每次砍伐后加到第一级（栽下新的树苗）的树,的总数。记,n*n,阶矩阵,R,为,则,是每次收获后新种幼苗的分布状况，称,R,为替换矩阵,。,根据维持收获的原则，则有,（生长期开始的状态）,=,（生长期末的状态）,（收获）,+,（新种树苗）,因此有收获模型,其中,I,为,n,阶单位矩阵。,3.,模型分析与求解,根据收获模型 如果要保证对森林进行,持续收获的话，就,相当于要求,y,是常向量，即定常收获。这实际上就相当于要求,森林中每生长期的树木分,布状况都相同，换言之，即存在,x,，使得,x(k+1)=x(k),。,这时，,y,才能实现持续收获，,x,称为,收获模型的平衡解,。如果存在平衡解,x,，则有,即 （,4.1,）,把方程（,4.1,）称为,能持续收获条件,。,而,仍以满足这个矩阵方程，具有非负元素的向量,x,，,y,，决定森林的一个持续收获方案。应该指出，这里将假设,y,1,=0,，表明收获了没有经济价值的树苗，没有实际意义。,于是方程组（,4.1,）就可以化为,（,4.2,）,这个方程组的第一个方程是后面,n-1,个方程之和。,由于必须有 所以方程组（,2,）中要求,（,4.3,）,反之，如果,x,满足条件（,4.3,），则由方程组（,4.2,）定义了一列向量,y,，且,x,，,y,满足,持续收,获条件（,4.1,）。因此，,一个非负向量,x,为收获模型平衡解的充要条件是它,的元素满足条件（,4.3,）,。,4.,最优持续产值,我们的问题就是在持续收获的前提下，使得收获的经济价值最大。设收获的总价,值为,Q,，根据假设,1,），则有,（,4.4,）,将（,4.2,）式中的,y,i,代入，得,（,4.5,）,这是一个线性规划问题，利用线性规划可以解得：只要从某一种高度集中收获全部树,木，而不用收获其他高度级中的树木，就可以得到最大持续收获。,我们现在不用线性规划的理论来证明这一结论。,设,Q,k,是采伐时所有的树木都属于第,k,级而不采伐其他级的树所得的产量。因此有,（,4.6,）,另外，既然第,k,级中所有的树木都已砍去，没有树剩下，也就没有树存在于高于第,k,级,的高度级中，因此,将（,4.6,）和（,4.7,）式代入持续收获条件（,4.2,）中，得,（,4.8,）,由此方程组可得,（,4.9,）,即,（,4.10,）,将（,4.7,）和（,4.10,）式代入,x1+x2+xn=s,，得,于是得,解得,（,4.11,）,（,4.12,）,因此，只要生长参数是已知的，就可以求出的值，,k=2,3,n,，再比较,k,取不同值时,的值，从中确定维持收获的最大经济收入。,实际应用,现在，我们已知某处森林具有,6,年的生长期，通过实地测量，得到其生长矩阵为：,假设,5,个高度级的树木价格分别为,为了得到最优持续产量，问哪一级的树应该全部采伐掉？其产量是多少？,解 在这里，我们假设森林中的树木总数为,s,，从生长矩阵,G,可知,通过上述模型分析并利用数学软件计算求解，可得到：,只收获第二高度级：,只收获第三高度级,只收获第四高度级,只收获第五高度级,只收获第六高度级,比较五个值，可知,最大。因此，砍伐第三高度级的全部树木可使收益最大，最有持续产量是,14.7s,元。,由上述模型分析知，持续收获,x,从理论上确实是存在的，但由于实际问题将导致,按持续收获进行砍伐树木时困难较大，甚至可能成本较高，这当然是不“合算”的。另,外，在森林中，要真正区分树木的等级也比较困难。,假设中，我们认为树木是逐级按比例进入上一级高度的，其实现实中的树木生长,存在着竞争问题，增长率会随时间而发生变化，并不是恒定的。另外在计算最大收益,值时也没有考虑利率、税收、成本等问题。下面的问题值得大家进一步思考：,设 表示年龄为,t,的树木的价值，对于年龄很长的树种（,100200,年），考虑树木,的价值时必须同时考虑到现金的时间贴现，称,r,为贴现率，即时间,t,的单位现金只相当于,当前的,1,）若已知树木价值，试讨论单株树木最优砍伐的时间,2,）如果已知,试给出最优砍伐时间的计算公式。,3,）道格拉斯（,Dauglas,）冷杉的树木价值如下：,年龄,i,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,价值,0,0,43,143,303,497,650,805,913,1000,1075,如果贴现率,r=0.1,，计算道格拉斯冷杉的最优砍伐时间。,四、人口按年龄结构的总体增长问题,本节介绍人口学家最常用的莱斯利（,Leslie,）人口增长模型了解莱斯利矩阵的性质及其应用，了解人口按年龄结扣总体增长问题，并学会讨论极限状态。,人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预测。,你可能注意不到不同的报刊对同一地区同一时间人口的预测数字常有较大的差别，这是因为用了不同的人口模型进行预测的结果，且影响人口的因素很多。,对于人口问题已有从不同的角度来进行研究而得到的模型和方法，这些方法请读者参阅其他相关的书籍。,本节介绍的是人口学家最常用的莱斯利人口增长模型。,莱斯利模型,年龄组,年龄区间,1,0,N/n,2,(N/n,2N/n),3,(2N/n,3N/n),n-1,(n-2)N/n,(n-1)N/n),Nn-1)N/n,N),假定在总体中任意一个女性的最大年龄是,N,岁，这里的总体仅指女性人口总体，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。,将总体分成,n,个期限相等的年龄组，于是每组的期限为,N/n,年，按下表来记下各个年龄组：,假设已知在时刻,t=0,时每一个组中的女性人数，令在第,i,组中有 个女性，则记为,这个向量称为,初始年龄分布向量,。,现在来考虑这,n,个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等，即令,这样，在时刻 时于第（,i+1,）组中的所有女性在时刻是均在第,i,组中。,在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述：,表示每一个女性在第,i,年龄组期间生育儿女的平均数。,表示第,i,年龄组的女性可望活到第（,i+1,）年龄组的分数。,显然 不允许任何,bi,等于,0,，否则就没有一个没有女性会活到超过第,i,年龄组。,同样，至少有一个 是正的，这样就保证有,n,个女儿出生了。与正的 对应的年龄组称为生育年龄组。,记 是在时刻个 年龄组中的女性数目，则称,为在时刻 时年龄分布向量。在时刻 ，第一个年龄组中的女性数恰好就是在 和 之间出生的女孩数，即,（,5.1,）,（,5.2,）,将（,5.1,）式和（,5.2,）用矩阵表示即得,（,5.3,）,简记为,（,5.4,）,其中,称为,莱斯利矩阵,由（,5.4,）式可得,（,5.5,）,因此，如果已知初始年龄分布 及莱斯利矩阵,L,，就能求出在以后任何时间的女性年龄分布。,极限状态,（,5.5,）式给出了在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。,为此我们需要考虑莱斯利矩阵,L,的特征值和特征向量，,L,的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为,为了求这个多项式的根，引入函数,（,5.6,）,利用这个函数，特征多项式 可写为,（,5.7,）,由于所有的 和 为非负的，可以看作 对于大于零是单调减少的。,另外，在 处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋于零。因此，存在唯一的一个 ，使得 。即矩阵,L,有一个唯一的正特征值，是单根，对于 的一个特征向量是满足：的非零向量。,解得,（,5.8,）,由于 是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的特征向量 是某个倍数，则有定理,定理,1,一个莱斯利矩阵,L,有一个唯一的正特征值 ，并且有一个所有元素均为正的特征向量。,总体年龄分布的长期行为是由正的特征值 及它的特征向量 来决定的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量。,定理,2,如果 为莱斯利矩阵,L,的唯一的正特征值，是,L,的特征值，它可以是任意实数或复数，则 。,称为,L,的主特征值。如果对,L,的所有其他特征值有 ，那么 称为,L,的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如,请读者利用数学软件验证,L,的唯一正特征值不是严格主特征值，并且有 （单位矩阵）。,于是对于任意选择初始年龄分布 ，都有,因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动，如果 是严格主特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。,下面价格叙述关于 是严格主特征值的必要和充分条件。,定理,3,如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素 和 不等于零，则,L,的正特征值就是严格主特征值。,因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情况。,假设,L,是可对角化的，此时,L,有,n,个特征值 与它们相对应的,n,个线性无关的特征向量为 。将其中严格主特征值排在第一，建立一个矩阵,P,，其余个列就是,L,的特征向量。,于是,L,的对角化就由下式给出,则,因此，对于任意初始年龄分布向量 就有,此等式两边除以 ，就得出,（,5.9,）,由于 是严格主特征值，所以 当 时,这样就得到,（,5.10,）,如果将列向量 的第一个元素用常数,C,来表示，则可以证明（,5.10,）式右端为 ，,C,是一个只与初始年龄分布向量 有关的正常数，于是得到,（,5.11,）,对于足够大的,k,值，由（,5.11,）式给出近似式,（,5.12,）,由（,5.12,）式还可得出,（,5.13,）,比较（,5.12,）和（5.13,）式可知对于足够大的,k,值，有,（,5.14,）,这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。,由给出常时期人口的年龄分布向量（,5.12,）式,根据正特征值 的数值，会有三种情况：,）如果 ，总体最终是增长的；,）如果 ，总体整体是减少的；,）如果 ，总体整体是不变的。,的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数,由（,5.6,）和（,5.7,）式可看出，当且仅当,（,5.15,）,时才有 。,表达式,（,5.16,）,称为,总体的净繁殖率,。因此，总体的净繁殖率为,1,时，一个总体有零总体增长。,一个实例,考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设该部落中没有年龄大于,60,的女性，将该部落中的女性分分成期限为,20,年的,3,个年龄组，并知其赖斯利矩阵是,如果开始时在这,3,个年龄组中每组有,1000,名女性，于是由（,5.3,）式，得到,因此,60,年后，年龄从,0,到,20,岁的女性有,14375,名；,20,到,40,岁的女性有,1375,名；,40,到,60,岁之间的女性有,875,名。,由于,L,的特征多项式是严格主特征值是，故由（,5.8,）式，相应的特征向量是,对于足够大的,k值（即多年后），由（,5.14,）式得,因而每隔,20,年，,3,个年龄组中的女性和女性总数都将增长,50,。,由（,5.12,）式得,这说明到最后，女性将按,1,：,1,3,：,1,18,的比例分配在,3,个年龄组中，这相当于,72,的女性分布在第一年龄组，,24,的女性分布阿第二年龄组，,4,的女性分布在第三年龄组中。,这里仅分析了一个“特殊”的例子。事实上，要预测某地区未来人口的数量及人口年龄分布规律，同行需要考虑男性的情况，则需要对莱斯利模型做一些必要的修改还需要从人口普查资料中得到人口参数。分组的年限往往是一年，这样莱斯利矩阵,L,的阶就相当高，且假定出生率与死亡率是固定的，对于人口的长期预测来说，其合理性是有争议的。,当,L,的阶数较高时，可使用第四章,I,介绍的数学软件来进行上述计算，并进一步思考下列问题：,）评价并讨论上述推倒模型的假设。什么因素对出生率和死亡率有影响。,）推倒某地区男性和女性的年龄结构模型。方法之一是假设有关女性人口的模型成立，对于一个出生的女婴对应地有一个出生的男婴，男性人口的存活率为常熟。对于有移民的情况模型应该怎样建立？,五、动物群的收获问题,本节讨论动物群的收获效果，作为上一节莱斯利模型的应用，了解持续收获模型、只收获特定年龄组问题。,初步掌握是数学技术的综合应用。,在上一节的中，讨论了女性总体按年龄分组的莱斯例矩阵模型。这一节将利用这个模型来讨论动物群的收获效果，可以认为这一节是莱斯利模型的应用。,收获模型,我们仅讨论持续收获。,所谓持续收获是指：,如果一个周期性收获的 动物总体，每次的收获量相同，并且在每次收获后，遗留的总体的年龄分布任旧不变，就称为持续收获。,采用这种持续收获方案，可以使动物群不致耗竭，而只是开发利用增长的过剩部分。,收获”并不一定是指屠宰率亦可指由于别的目的而将动物从整体中移走。与上一节一样，我们只讨论动物群中的雌雄。,动物群收获模型的基本概念：,从一个特定的年龄分布的动物开始，经历一个用莱斯利矩阵描述的生长周期后，在生长周期末，收获每个年龄组的某些部分。,由于收获期与生长周期相比是很短的，因而在收获期间总体的增长或变化都可以忽略不计。,结果遗留下来未收获的总体年龄分布就和原来的总体相同。每次收获后重复这种循环，所以收获是持续的。,设 是在,i,组中剩下未收获的雌性动物的个数，则向量,是在生长周期开始时动物总体的年龄分布向量,同样假设每一年龄组的期限和生长的周期相同的 长短相同，例如动物群一年收获一次，那么动物群就分成期限为一年的年龄组。,设,L,是描述总体增长的莱斯利矩阵，那么向量,LX,是紧靠着收获之前，生长周期末的总体的年龄分布向量。,设是从第,i,年龄组中收获的雌性动物的百分数，由此得到,I,个,n,阶对角阵,称为收获矩阵。,显然，即对于这,n,组中的每一组。可以不收获 ，全部收获 或当收获到一部分 。,因为紧靠着收获之前的 第,i,年龄组中的雌性动物数是向量,LX,的第,i,个元素，记为，则向量,中的地,i,个元素就是第,i,个年龄组中收获的雌性动物数，根据持续收获的定义：在生长周期末的年龄分布收获在生长周期开始的年龄分布，也就是,（,6.1,）,即,（,6.2,）,可以看出,X,是对应于矩阵（,E,H,）,L,的特征向量。,假设总统的莱斯利矩阵,（,6.3,）,于是得,显然，（,E,H,）,L,是形式与莱斯利矩阵相同的矩阵，在上一节曾得出莱斯利矩阵的特征值是,1,的充要条件是它的繁殖率也是,1,。,根据（,5.15,）可得出（,E,H,）,L,的净繁殖率为：,令其等于1,，得,（,6.4,）,（,6.4,）式对允许收获分数给予一个限制，即满足方程（,6.4,）且在,0,，,1,上的那些的值，才能持续收获。,如果满足（,6.4,）式，矩阵（,E,H,）,L,就有特征値，且这个特征値是单根。因为莱斯利矩阵的正特征值总是单根，这就表明只有一个非零向量,X,满足（,6.2,）式。,可求得对应于特征值的特征向量为,（,6.5,）,式（,6.2,）的其他解,X,是的倍数，因此向量就决定了持续收获中每收获一次，,n,个年龄组中的每一组雌性动物的比例，。,所以在中可以做出广泛的选择来形成持续收获，一旦把这些选定后，每次收获后总体的年龄分布比例就唯一的由（,6.5,）式所定义的来选定。,均匀收获,很多的动物群很难区分或者捕捉到特定年龄的动物。当动物是随机捕捉时，可假定每一年龄组的收获百分数是相等的，这就是均匀收获，令 则（,6.2,）式就化成,因此，就是莱斯利增长矩阵,L,的唯一的正特征值，从而解得,这时向量和特征值对应的特征向量相同，由（,5.8,）式知,（,6.7,）,由（,6.6,）式知，越大，可以收获而不致使总体耗竭的动物的百分数就越大。这里还要求大于,1,，以保证,h,在,0,，,1,之间。,这个条件是肯定被满足的，因为正是总体在增长的条件。,只收获最小年龄组,某些动物，只有最年轻的雌性才具有经济价值，因袭力求收回最轻年龄组的雌性。例如要制作烤乳猪这道菜，则需要刚出生不久的乳猪。,此时，可令 （,6.4,）式就简化为,或,式中,R,为繁殖率，解得,（,6.8,）,从此式 可看知，只有当,R1,时，才可能持续收获。这是符合事实的，因为只有,R1,时，总体才增长。,再由式（,6.5,）式得每次收获后的年龄组分布向量，它是与成比例的，,（,6.9,）,一个实例,羊的平均年龄是,12,岁，因此将真个羊群分成间隔为,1,年的,12,个年龄组。利用数学软件 容易求得,L,的唯一的一个特征值：,（,1,）均匀收获,由（,6.6,）式，均匀收获百分比为,因此，按均匀收获方法，每年从,12,个年龄组中各收获,18.1,的羊。由（,6.7,）式可得，每次收获后羊群的年龄分布向量正比于 。,现在，我们来分析一下，按照这个持续收获方法，将要收获整个羊群的百分数是多少？,先求出在收获前的年龄分布向量 。,中所有元素的总和为,8.518,，所以第一个元素,2.513,是总和的,29.5,。也就是说，在收获之前，总体的,29.5,在最轻年龄组内。,现在要从最小年龄组中收获,60.2,。,因此，每年收获整个羊群的,29.5,*,60.2,17.8,。,上面仅介绍了两种持续收获方法，它们的产量分别是,18.1,，,17.8,。,还有许多其他的持续收获方法，我们希望能找出一个产量最大的持续收获方法，即最优持续收获方案，其结果就是最优持续产量。,可以用线性规划的方法得到下面的结论：,最优持续收获的方案是收获一个或两个年龄组。如果收获两个年龄组，就把较老的年龄组全部收获掉。,对于前述的羊群，可以用线性规划证明当而其余均为,0,时，可得最优持续产量。也就是把,0,到,1,岁的羊群收获,52.2,，,8,岁到,9,岁的羊全部收获，就得到最优持续产量是羊群总数的,19.9,。,请大家做下述计算（最好在数学软件上实现）,1,）如果只周期收获动物群的第,i,年龄组，求相应的收获百分数。,2,）如果收获一动物群的第,j,年龄组的某个百分数，计算要收获整个动物群的百分是多少？,掌握数学技术迎接时代发展的挑战,高新科技和新兴科技领域的迅猛发展对应用数学的研究提出了迫切需要,1),社会、科技发展新颖而丰富多彩的客观需要的推动,实际需要中提出的大量问题，为数学的发展提供了不竭的源泉，通过解决这些问题，可以有效地推进学科的发展。,回顾一下二战期间，由于高速飞行、核弹设计、火炮控制、物资调运、密码破译及军事运筹等方面迫切需要的有力推动，数学不仅在其中发挥了重大的作用，而且带动了一批新的应用数学学科（控制论、运筹学、对策论、密码学、计算流体力学等）的迅速兴起。,随着现代应用数学的飞速发展，其范围已大大扩大，从以往传统的、数学处理方法相对成熟的领域（如力学、物理、天文以及传统工业领域）扩展到原先非传统的、数学处理相对说来不算成熟的化学、生物、其他各门自然科学及高新技术领