1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,万有引力定律与天体运动,两体问题,仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为,m,1,、,m,1,，相互作用力大小为,f,，,从,m,1,至,m,2,的矢径为,.,对,m,2,，由牛顿第二定律有,将（,1,）代入（,2,）：,则有,（,3,）式表明，若取,m,1,为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立）,，则在此参照系中,m,2,的运动完全相同于质量为,的质点在中心力 的作用下按牛顿第二,定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用,.,取二者的质心,C,为参照系（惯性系）,.,设,C,到,m
2、,1,的矢径为,.,有,“,卫星怪象”问题,卫星（质量为,m,）与地球（质量为,M,）系统的总能量为,即,于是可知,对两端的变化量有,即,一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化,（,1,）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点,.,（,2,）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：,a,、可将该两天体作为二体问题处理,.,b,、,施力天体由于某些原因,（,如质量相对很大,）,在某惯性系中可认为几乎不动，这,时问题很简单,（我们通常讨论的就是这种情况）,.,二、引力问题的基本动力学方程,如图，行星,m,在太阳,M,的有心引力作用下运动,.,行星的横向加速度 等于零,.,有径向动力学
3、方程,解题知识与方法研究,在太阳惯性参照系中，,由牛顿运动定律和引力定律,此式变化后即得开普勒第二定律：,表明：,开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现,.,开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将,适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动,.,又因万有引力为保守力，故“太阳,+,行星”系统的机,械能守恒,当然，此方程也不限于,行星做椭圆轨道运动！,因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量,守恒,三、天体绕日运动的轨道与能量,根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动,量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下,的绕日运动的天体的轨道方程：,轨道方程为一圆锥曲线方程：,（,1,）,（即开普
4、勒第一定律）；,总能量为：,（,2,）,总能量为：,（,3,）,总能量为：,例,1,（天体轨道的判定）,如图，太阳系中星体,A,做半径为,R,1,的圆运动，星体,B,作抛物线运动,.B,在近日点处与太阳的相距为,R,2,=2,R,1,，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同,.,设,B,运动到近日点时，,A,恰好运动到,B,与太阳连线上,.A,、,B,随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体,.,其间的质量损失可忽略,.,试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆,.,解,计算新星体,C,的机械能,.,在径向：,可认为在,A,、,B,靠拢过程中质心未动,.,所以,C,到太阳的距离为,在切
5、向：,A,、,B,合并过程中动量也守恒，,则有,研究式中的,v,A,、,v,B,：,因,A,作圆运动，,例题解答,所以,利用，,C,星体的机械能为,因此，新星体,C,的轨道为椭圆,.,E,A,m,），距离为,d,，在引力作用,下绕不动的质心作圆周运动,.,设这两颗星近似为质点,.,在超新星爆炸中，质量为,M,的星体,损失质量,M,.,假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用,力抵消），对另一颗星也无直接作用,.,试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约,束而不相互远离,.,解,需计算爆炸后的总机械能,.,如图，爆炸前两星绕质心旋转,.,旋转的角速度 满足,爆炸后的瞬
6、间，因球对称爆炸所以（,M-,M,）位置、速度均不变,.,无作用，故,m,的位置、速度也不变,.,因爆炸对星体,m,也,旋转半径满足,新系统的质心,C,还在两星连线上的原处吗？,新系统的质心,C,还会静止吗？,新系统的势能为,新系统在新质心参照系中的动能为,由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为,注意到式中的,所以,进而得到系统在新质心系中的动能为,新系统仍被约束的条件是,另解,用,二体问题,折合质量法,爆炸前：,两星折合质量,两星折合质量,等效的运动如图（,a,）,.,旋转的速度,v,满足,爆炸后：,等效的运动如图（,b,）,.,新系统的势能,新系统的动能,代入系统约束的条件,解得,（,b,）,（,a,）,
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