工学线性代数第二章.pptx

线性代数Linear Algebra张俊敏第二章第二章 行列式行列式行列式的定义与性质行列式的定义与性质行列式的计算行列式的计算Cramer 法则法则解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法消去法的应用消去法的应用线性代数Linear Algebra张俊敏第一节第一节 行列式的定义与性质行列式的定义与性质问题的引出问题的引出n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质线性代数Linear Algebra张俊敏首先来看行列式概念的形成首先来看行列式概念的形成问题的提出：问题的提出：求解二、三元线性方程组求解二、三元线性方程组二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式引出引出一一.问题的引出问题的引出线性代数Linear Algebra张俊敏1.二阶行列式二阶行列式二元线性方程组：二元线性方程组：当当时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解（回顾高中时的二阶与三阶行列式）（回顾高中时的二阶与三阶行列式）线性代数Linear Algebra张俊敏从而方程组从而方程组有唯一解有唯一解称称为二阶行列式为二阶行列式也记作也记作为便于记忆，引进为便于记忆，引进记号记号线性代数Linear Algebra张俊敏注：注：的函数。它不同于矩阵的函数。它不同于矩阵 ，矩阵是一种形式；矩阵是一种形式；(1)记忆方法：对角线法则记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积副对角线上两元素之积(2)为系数矩阵为系数矩阵二阶行列式算出来是一个数。二阶行列式算出来是一个数。线性代数Linear Algebra张俊敏2.三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式注：（注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式二阶行列式进行的计算。三阶行列式 算出来也是算出来也是一个数。一个数。（2）三阶行列式）三阶行列式 也是矩阵上定义的一种函数。也是矩阵上定义的一种函数。线性代数Linear Algebra张俊敏二二.n.n阶行列式的定义阶行列式的定义当当时，时，为为大于大于1的的整数整数时，时，当当阶矩阵的行列式定义为阶矩阵的行列式定义为仍然记作仍然记作线性代数Linear Algebra张俊敏定义定义：在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的 余子式余子式,称称为元素为元素的的代数余子式代数余子式。例如：例如：记为记为。线性代数Linear Algebra张俊敏注：行列式的每个元素都分别对应着一个注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式余子式和和一个一个 代数余子式代数余子式。再如再如线性代数Linear Algebra张俊敏 或者行列式等于它的第一行的各元素与其对应或者行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即引入这两个概念后，行列式的值就可以表示为引入这两个概念后，行列式的值就可以表示为注注：称上面两式为行列式称上面两式为行列式 按第一行的展开式按第一行的展开式线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.1线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.2特别地特别地线性代数Linear Algebra张俊敏三三.行列式的性质行列式的性质性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。（2）行列式中行与列地位相同，对行成立行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。的性质对列也成立，反之亦然。说明说明（1），则则线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.3线性代数Linear Algebra张俊敏性质性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。推论：推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。例如例如线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.4线性代数Linear Algebra张俊敏性质性质3：用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数元素，等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。记法记法第第s行乘以行乘以k：第第s列乘以列乘以k:;线性代数Linear Algebra张俊敏推论：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式符号外面推论：推论：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于则行列式等于0。例如例如线性代数Linear Algebra张俊敏性质性质4：即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。列式的对应的行一样。线性代数Linear Algebra张俊敏对于列也有类似的结论对于列也有类似的结论线性代数Linear Algebra张俊敏性质性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数一数k后再加到另一行（列）对应的元素上后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。去，行列式的值不变。记法记法数数k乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：证明：证明：作作线性代数Linear Algebra张俊敏得得线性代数Linear Algebra张俊敏利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：目标目标化为三角形行列式化为三角形行列式例例2.5：计算计算线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏注：注：上述各例都用到把几个运算写在一起的省上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。结果上。例如：例如：线性代数Linear Algebra张俊敏课堂练习:1.计算行列式计算行列式2.一个一个n阶行列式，它的元素满足阶行列式，它的元素满足证明：当证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。为奇数时，此行列式为零。41线性代数Linear Algebra张俊敏3.计算计算4.计算计算线性代数Linear Algebra张俊敏5.计算计算线性代数Linear Algebra张俊敏1 1、n n阶行列式的定义阶行列式的定义2 2、行列式的性质、行列式的性质小小 结结(1)行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。(2)互换行列式的两行（列），行列式的值变互换行列式的两行（列），行列式的值变号。号。(3)用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数元素，等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。线性代数Linear Algebra张俊敏如果某一行是两组数的和，则此行列式如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。的行一样。(4)行列式的某一行（列）的所有元素乘以行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数同一数k后再加到另一行（列）对应的元后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。素上去，行列式的值不变。(5)注：注：将各种性质综合使用可以简化行列式的将各种性质综合使用可以简化行列式的计算计算返回返回线性代数Linear Algebra张俊敏第二节第二节 行列式的计算行列式的计算行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式的乘法法则行列式的乘法法则线性代数Linear Algebra张俊敏一一.行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开对于三阶行列式：对于三阶行列式：行列式可以用行列式可以用第一行第一行的各个元素与相应的代的各个元素与相应的代数余子式乘积之和来求值。数余子式乘积之和来求值。问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以可以用任阶行列式是否可以可以用任第一行第一行的的各个元素与相应的代数余子式乘积之和来求值各个元素与相应的代数余子式乘积之和来求值？线性代数Linear Algebra张俊敏证明证明（1）设）设 D 的第的第 i 行除了行除了 外都是外都是 0。把把 D 的第的第行依次与第行依次与第行，第行，第行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第列依次与第列依次与第列，列，行列式行列式 可以按行展开可以按行展开定理定理2.1：线性代数Linear Algebra张俊敏由性质由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，行列式互换两行（列）行列式变号，得，得，第第列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。次交换行与交换列的步骤。线性代数Linear Algebra张俊敏(2)一般情形一般情形线性代数Linear Algebra张俊敏例如，行列式例如，行列式按第二行展开，得按第二行展开，得证毕。证毕。线性代数Linear Algebra张俊敏证明：证明：由由定理定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素定理定理2.2：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即即线性代数Linear Algebra张俊敏则，则，第第i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。线性代数Linear Algebra张俊敏综上，得公式综上，得公式线性代数Linear Algebra张俊敏（2）利用行列式按行按列展开定理，并结合）利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含仅含1个非零元素，再按此行（列）展开个非零元素，再按此行（列）展开,变为变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。阶或二阶行列式。（1）在计算数字行列式时，直接应用行列式）在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶阶行列式换成行列式换成n个（个（n1）阶行列式的计算并不）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。展开定理在理论上是重要的。注：注：线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.6:2.6:计算行列式计算行列式线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.72.7 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式线性代数Linear Algebra张俊敏 证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法(1)当当n=2时时,结论成立结论成立。(2)设设n1阶范德蒙德行列式成立，现证阶范德蒙德行列式成立，现证n阶也成立。阶也成立。线性代数Linear Algebra张俊敏 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式线性代数Linear Algebra张俊敏证毕。证毕。练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。式的值。=57线性代数Linear Algebra张俊敏思考题思考题:求第一行各元素的代数求第一行各元素的代数余子式之和余子式之和解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成线性代数Linear Algebra张俊敏二二.行列式的乘法法则行列式的乘法法则引理引理：若若则则注：注：虽然虽然但但定理定理2.3设设 ，则，则线性代数Linear Algebra张俊敏推论：推论：对于方阵对于方阵 有有推论：推论：若若 方阵，则方阵，则线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.8 例例2.9线性代数Linear Algebra张俊敏行列式的计算方法大致可归纳为：行列式的计算方法大致可归纳为：（1）利用定义直接计算，即按行（列）展开；）利用定义直接计算，即按行（列）展开；（2）利用行列式性质将行列式三角化，或使某行（列）利用行列式性质将行列式三角化，或使某行（列）出现更多个零元素，然后按行（列）展开；出现更多个零元素，然后按行（列）展开；（3）利用行列式乘积定理及推论。）利用行列式乘积定理及推论。小小 结结返回返回线性代数Linear Algebra张俊敏第三节第三节 Cramer Cramer 法则法则矩阵可逆的判别定理及其求法矩阵可逆的判别定理及其求法Cramer法则法则线性代数Linear Algebra张俊敏一.矩阵可逆的判别定理及求法证明：证明：定理定理2.4.1:则奇异矩阵：奇异矩阵：非奇异矩阵：非奇异矩阵：（退化矩阵）（退化矩阵）（非退化矩阵）（非退化矩阵）注：线性代数Linear Algebra张俊敏证明：证明：定理定理2.4.2:若则线性代数Linear Algebra张俊敏推论：推论：证明证明：注：注线性代数Linear Algebra张俊敏解解例例2.12 2.12 求方阵求方阵 的逆矩阵。的逆矩阵。线性代数Linear Algebra张俊敏同理可得同理可得故故线性代数Linear Algebra张俊敏二.Cramer 法则 对系数矩阵为方阵的二、三元线性方程组，当系数对系数矩阵为方阵的二、三元线性方程组，当系数行列式行列式时，方程组有唯一解，时，方程组有唯一解，含有含有n个未知数，个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。阶行列式表示。Cramer法则法则：如果线性方程组如果线性方程组的系数行的系数行列式不等列式不等于零，于零，线性代数Linear Algebra张俊敏其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即即即则线性方程组则线性方程组(1)(1)有有唯一解，唯一解，线性代数Linear Algebra张俊敏证明：证明：再把再把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得线性代数Linear Algebra张俊敏于是于是当当 时时,方程组方程组(2)(2)有唯一的一个解有唯一的一个解由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,上式中除了上式中除了的系数等于的系数等于D,其余其余的系数均等于的系数均等于0，而等式右端为，而等式右端为由于方程组由于方程组(2)(2)与方程组与方程组(1)(1)等价等价,所以所以也是方程组的也是方程组的(1)(1)解。解。线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.13：用用Cramer法则解线性方程组。法则解线性方程组。解解：线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏注注:1.Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。2.理论意义：给出了解与系数的明显关系。理论意义：给出了解与系数的明显关系。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。3.撇开求解公式撇开求解公式Cramer法则含下面几层含义：法则含下面几层含义：2.如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解，则无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零它的系数行列式必为零.1.如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .线性代数Linear Algebra张俊敏有非零解。有非零解。系数行列式系数行列式4.如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为列式必为0。注：注：3.如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.14 问问 取何值时，取何值时，齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？解解：齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解。时齐次方程组有非零解。线性代数Linear Algebra张俊敏注：对于注：对于n元齐次线性方程组的元齐次线性方程组的Cramer法则的推法则的推论，常被用来解决解析几何的问题。论，常被用来解决解析几何的问题。例例2.15 求空间的四个平面求空间的四个平面相交于一点的条件相交于一点的条件。解：解：四个平面相交于一点，即线性方程组四个平面相交于一点，即线性方程组有唯一解。有唯一解。线性代数Linear Algebra张俊敏从另一角度看，形式上可以把从另一角度看，形式上可以把看作是四元看作是四元线性方程组线性方程组的一组非零解。的一组非零解。因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是所以，四平面相交于一点的条件为所以，四平面相交于一点的条件为线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.16已知三次曲线已知三次曲线在四个点在四个点处的值为处的值为试求系数试求系数解：解：线性代数Linear Algebra张俊敏若用若用Cramer法则求此方程组的解，有法则求此方程组的解，有（考虑（考虑范德蒙德行列式）范德蒙德行列式）线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏课堂练习课堂练习：思考题思考题:当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克能否用克拉默法则解方程组拉默法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解如何此时方程组的解如何?解答解答:不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.线性代数Linear Algebra张俊敏小小 结结2、Cramer 法则及其应用法则及其应用1、矩阵可逆的判别定理及求法矩阵可逆的判别定理及求法返回返回线性代数Linear Algebra张俊敏第四节第四节 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法问题的引出问题的引出高斯消元法高斯消元法高斯高斯若当消元法若当消元法线性代数Linear Algebra张俊敏 由由前前面面第第二二章章的的知知识识，我我们们知知道道当当方方程程组组的的解解唯唯一一的的时时候候，可可以以利利用用克克兰兰姆姆法法则则求求出出方方程程组组的的解解，但但随随着着方方程程组组阶阶数数的的增增高高，需需要要计计算算的的行行列列式式的的阶阶数数和和个个数数也也增增多多，从从而而运运算算量量也也越越来来越越大大，因因此此在在实实际际求求解解中中该该方方法法是是行行不不通的通的.1.1.问题的引出问题的引出线性代数Linear Algebra张俊敏例例2 2.13 解线性方程组解线性方程组解解线性代数Linear Algebra张俊敏 消元过程总共作了三种变换：消元过程总共作了三种变换：（1 1）交换方程次序）交换方程次序;（2 2）以不等于零的数乘某个方程）以不等于零的数乘某个方程;（3 3）一个方程加上另一个方程的倍）一个方程加上另一个方程的倍.注注：由于三种变换都是可逆的，所以：由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换同解的故这三种变换是同解变换 求解线性方程组实求解线性方程组实质上是对增广矩阵施质上是对增广矩阵施行行3种初等运算：种初等运算：(1)对调矩阵的两行。对调矩阵的两行。(2)用非零常数用非零常数k乘矩阵乘矩阵的某一行的所有元素。的某一行的所有元素。(3)将矩阵的某一行所有将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数元素乘以非零常数k后后加到另一行对应元素上。加到另一行对应元素上。统称为矩阵的初等行变换统称为矩阵的初等行变换线性代数Linear Algebra张俊敏通常称通常称(1)对换变换对换变换 (2)倍乘变换倍乘变换 (3)倍加变换倍加变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换 2）初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换且变换类型相同。类型相同。(行行)记作记作(1)(2)(3)(列列)记作记作(1)(2)(3)1）矩阵的初等变换）矩阵的初等变换:矩阵的行变换矩阵的行变换;矩阵的列矩阵的列变换。变换。注：注：线性代数Linear Algebra张俊敏如果矩阵如果矩阵 经过有限次初等变换变为矩经过有限次初等变换变为矩阵阵 ，则称矩阵，则称矩阵 与与 等价，记作等价，记作：定义定义注：注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵形矩阵。如线性代数Linear Algebra张俊敏2.2.高斯消元法高斯消元法设设若若系系数数行行列列式式 ，即即方方程程组组有有唯唯一一解解，则则其其消元过程消元过程如下：如下：线性代数Linear Algebra张俊敏第一步，第一步，设设 否否则则将将方方程程与与（1）对对调调，使使对对调调后后的的第第一一个个方方程程的系数不为零的系数不为零。作作主元主元线性代数Linear Algebra张俊敏照此消元，直至第照此消元，直至第 步得到三角形方程组步得到三角形方程组第二步，第二步，设设，作，作 否否则则将将方方程程与与（2）对对调调，使使对对调调后后的的第第一一个个方方程程的的系系数数不不为为 零零。线性代数Linear Algebra张俊敏 接接下下来来的的回回代代过过程程首首先先由由最最后后方方程程求求出出 ，依次向上代入求出，依次向上代入求出 即可。即可。回代过程回代过程 和和 的计算公式的计算公式回代公式回代公式线性代数Linear Algebra张俊敏高斯消元法高斯消元法用用矩阵初等变换的方法矩阵初等变换的方法表示就是表示就是线性代数Linear Algebra张俊敏 高高斯斯消消元元法法中中，绝绝对对值值太太小小时时，会会带带来来较较 大的舍入误差。此时可按大的舍入误差。此时可按 选取主元。选取主元。高斯消元法的改进高斯消元法的改进例例2.14线性代数Linear Algebra张俊敏解解线性代数Linear Algebra张俊敏回代可得解回代可得解注注：这这种种方方法法也也可可用用来来讨讨论论一一般般线线性性方方程程组组的的求求解问题。解问题。线性代数Linear Algebra张俊敏3.高斯高斯若当消元法若当消元法将方程组化为对角形方程组即可得解。线性代数Linear Algebra张俊敏注：注：高斯高斯若当消元法与高斯消元法的区别：若当消元法与高斯消元法的区别：选选主主元元后后用用它它消消去去该该列列主主元元素素上上下下的的元元素素，而不仅仅是主元素以下的元素而不仅仅是主元素以下的元素；高高斯斯若若当当消消元元法法无无需需回回代代过过程程也也称称回回代消元法。代消元法。线性代数Linear Algebra张俊敏小小 结结2、高斯消元法、高斯消元法(1)消元过程消元过程(2)回代过程回代过程(1)1、矩阵的初等变换：矩阵的、矩阵的初等变换：矩阵的行变换行变换;矩阵的列变换。矩阵的列变换。(行行)记作记作(2)(3)(列列)记作记作(1)(2)(3)3、高斯、高斯若当消元法若当消元法无需回代过程无需回代过程返回返回线性代数Linear Algebra张俊敏第五节第五节 消去法的应用消去法的应用化矩阵为行阶梯矩阵化矩阵为行阶梯矩阵初等变换法求矩阵的逆初等变换法求矩阵的逆线性代数Linear Algebra张俊敏 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为把它变为 行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵。一一.化矩阵为化矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：例如：例如：特点：特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元第一个非零元什么是行阶梯型矩阵？线性代数Linear Algebra张俊敏行最简形矩阵：行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的上，还要求非零行的第第一个非零元为数一个非零元为数1，且，且这些这些1所在的列的其他所在的列的其他元素全都为零元素全都为零。例如：例如注：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换行变换把它变把它变为为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。线性代数Linear Algebra张俊敏例例2.17 对矩阵对矩阵作行初等变换作行初等变换,使成为行阶梯矩阵。使成为行阶梯矩阵。解解:线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏回忆：回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换 (把把“r”换成换成“c”)二、二、初等方阵初等方阵线性代数Linear Algebra张俊敏定义定义3 3：由单位矩阵：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。线性代数Linear Algebra张俊敏初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵例例1：计算：计算线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏定理定理2.5：证明：证明：具体验证即可具体验证即可线性代数Linear Algebra张俊敏另两种情形同理可证另两种情形同理可证线性代数Linear Algebra张俊敏与初等矩阵有关的乘法：与初等矩阵有关的乘法：线性代数Linear Algebra张俊敏例例2：(1)设初等矩阵设初等矩阵线性代数Linear Algebra张俊敏解：解：线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏解：解：线性代数Linear Algebra张俊敏 三三.用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。定理定理2.6 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1由定理，知由定理，知 ,即存在初等矩阵即存在初等矩阵使得使得又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。证明：证明：线性代数Linear Algebra张俊敏定理2.8维矩阵AB的充要条件是存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B进一步有定理2.7 方阵可逆的充要条件是它可以表示成有限个初等方阵的乘积。线性代数Linear Algebra张俊敏等号两边右乘等号两边右乘即，即，即，即，推论推论2行变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时，就变成就变成 。如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等线性代数Linear Algebra张俊敏解解：例例2.182.18线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏初等行变换初等行变换2.若作初等行变换时若作初等行变换时,出现出现全行为全行为0，则矩阵的，则矩阵的行列式行列式等于等于0。结论：。结论：矩阵不可逆矩阵不可逆!1.求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始若用初等行变换必须坚持始 终终,不能夹杂不能夹杂任何列变换任何列变换.注：注：即即另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵线性代数Linear Algebra张俊敏练习练习：用初等行变换求可逆矩阵：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵线性代数Linear Algebra张俊敏线性代数Linear Algebra张俊敏小小 结结2、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。1、化矩阵为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。、化矩阵为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。返回返回