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2014年考研高等数学系统复习
第二章 导数与微分
题型讲解
一、 导数与微分定义
导数的原始定义
1. 设存在，求下列各极限：
(1) ；答: .
(2) . 答: .
2. （112）已知在处可导，且则
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）. 答: .
3. 设函数可导，则（ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）. 答: .
4. 已知，求. 答: .
5. 设函数对任何恒有，且，试确定. 答: .
6. 设函数在点处连续，且，求. 答: .
7. 设函数在点处存在二阶导数，且，求，，. 答: .
8. 求下列函数在指定点处的导数：
（1） 设，求；答: .
（2） 设，在处连续，求；答: .
（3） 设，求. 答: .
（4） （122）设函数，其中为正整数，则
（A）. （B）.
（C）. （D）. 答: .
左导数、右导数与导数
9. 研究函数在处的连续性和可导性.
答: 连续但不可导,因为.
10. (011)设，则在点可导的充要条件为
（A） 存在； （B） 存在；
（C） 存在； （D） 存在.
答:.
11. (951)设函数一阶连续可导，，则是在点处可导的( )
（A） 充分但不必要条件； （B）必要但非充分条件；
（C） 充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件.
答:.
12. 设函数在点可导，则函数在点不可导的充要条件为
（A）且；（B）且；
（C）且；（D）且.
答:.
13. 设函数在点处连续，下列命题错误的是
（A）若存在，则；（B）若存在，则； （C） 若存在，则存在；（D）若存在，则存 在. 答:.
14. （033）设函数，其中在处连续，则是在点处可导的
（A） 充分但不必要条件； （B）必要但非充分条件；
（C） 充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件.
答:.
15. (981)函数的不可导点的个数是( )
（A） 3； （B） 2； （C） 1； （D） 0. 答:.
16. 设，其中有二阶连续导数，
（1） 求； （2）讨论在上的连续性.
答:(1) ；(2) 在上的连续.
导数与微分
17. （061）设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，与分别为在点处的增量与微分，若，则
（A）.（B）.（C）.（D）.
答:.
18. (981)已知函数在任意点处的增量为，且当时，是的高阶无穷小，，则等于
（A） ； （B） ； （C） ； （D） .
答:.
19. 设函数在处可导，按通常定义，则
（ ）
（A） -2； （B） -1； （C） 0； （D） 1.
答:.
二、复合函数求导数
20. 若又在点处可导，求.
答:.
21. （123）若函数，则.
答:.
22. 若，求.
答:.
23. 求下列函数的导数：
（1） .
答:.
（2） .
答:.
（3） .
答:.
24. 求下列函数的导数：
(1) ；
答:.
(2) ；
答:.

(3) ；
答: .
(4) ，.
答: .
25. 利用变换将方程化简，.
答:.
三、参数方程求导数
26. 设，求. 答:.
27. 设，其中可导，且，求. 答:.
28. （101）设，. 答:.
29. 设，.
答:.
四、隐函数求导数
30. 设函数是由方程所确定的，求.
答:.
31. 设函数是由方程所确定的，求.
答: .
32. （103）设可导函数由方程确定，则.
答: .
33. 设，其中满足方程，其中及具有二阶导数，求.
答: ,
.
34. 设函数是由方程组确定，求.
答: .
五、反函数求导数
35. 设是可导函数，且，则的反函数当自变量取4时的导数值为（ ）.
答: .
36. 已知是的反函数，，试用表示.
答: .
六、高阶导数
37. 设，求.
答: .
38. 设，求.
答: .
39. 设，求.
答: .
40. 函数在处的阶导数.
答: .
41. 设，求.
答: .
42. 设，求.
答: .
43. 设，求.
答: .
44. 设，求.
答: .
45. 求函数在处的阶导数.
答: .
46. 设，求.

答: .
47. 设，则使存在的最高阶数为（ ）
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3.
答: .
七、导数的几何与物理意义
48. （001）设函数为周期为5的连续函数，在处可导，且有关系式，其中，求曲线在点处的切线方程. 答: .
49. 试证星形线上任一点处的切线在轴与轴之间的线段为定长.
提示: 曲线上点处的切线与轴和轴的交点坐标为:
.
50. （092）曲线在点处的切线方程为
答: .
51. （081）曲线在点处的切线方程为
答: .
52. （102）曲线与曲线相切，则
（A）；（B）；（C）；（D）. 答: .
53. 证明曲线上任一点与该点的切线和轴交点的距离恒为常数.
提示: 时曲线上点处的切线与轴的交点坐标为:
.
54. （971）对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 . 答: .
55. 有一底半径为R厘米，高为厘米的圆锥形容器，以每秒A立方厘米的速度往容器中倒水，试求容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度.
答:.
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